이차방정식이 중근을 가질 조건

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식에서 중근이란 두 근이 중복되어 같을 때, 이 근을 의미해.
• 일반적으로 이차방정식은 두 개의 근을 가지지만, 우연히 같아지는 특별한 경우가 바로 중근을 가지는 경우야.
• 예를 들어, 인수분해 한 이차방정식이 $\;(x-1)(x-1)=0 \;$ 될 때 근은 $\;x=1\;$ 또는 $\;x=1\;$ 라는 두 근을 갖지만 중복되므로 $\;x=1 \;$ (중근) 이라고 표현한다.
• 이차방정식이 중근을 가질 가장 기본적인 조건은 (완전제곱식)=$0$ 이다.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이차방정식이 중근을 가질 조건은 여러 가지가 있다.
  $①\;$ $\;($완전제곱식$\;)=0\;$ 꼴을 가지는 것이다.
  가장 기본적이고 중요한 조건이다.
  이차방정식의 좌변이 $(\;$일차식$\;)^2=0\;$같은 완전제곱식의 형태로 인수분해가 되면 이 이차방정식은 반드시 중근을 가진다.
  $②\;$ 이차방정식 $\;x^2+bx+c=0\;$이 중근을 가질 조건은 좌변이 완전제곱식이 되는 조건과 같다.
  즉, $\; \left(\dfrac{b}{2} \right)^2 =c\;$성립하면 이 이차방정식은 중근을 가진다.
• $\;($일차항계수의 반$)^2=(\;$상수항$\;)$
• 이차항의 계수가 $\;1\;$이 아닌 이차방정식 $\;ax^2+bx+c=0\;$일 경우
  양변에 $\;\dfrac{1}{a}\;$곱해서 $\; x^2+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a}=0\;$로 모양을 바꿔서 위의 조건을 이용하면 된다.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $x^2 - 10x + 25 = 0$ 이라는 이차방정식을 생각해보자.
  $①$ 인수분해를 하면 $(x-5)^2=0 \;$꼴의 완전제곱식이 되므로 중근을 가진다.
  $②$ 일차항계수의 반의 제곱이 상수항이 된다는 조건을 확인하면
  $\left(\dfrac{-10}{2} \right)^2 =25 \;$ 성립하므로 중근을 가진다.