이차방정식과 그 해(근)

1️⃣ 핵심 개념

• 이차방정식은 $x$에 대한 식으로, $ax^2 + bx + c = 0$ 형태야. 여기서 $a$, $b$, $c$ 는 숫자이고 이것을 계수라고 불러.

• 가장 중요한 조건은 $a \neq 0\;$이어야 한다는 거야.
  만약 $\; a=0$ 이라면 $x^2$이 사라져서 일차방정식 $bx+c=0$이 되기 때문이고 $b,\; c$는 $0$이 되어도 상관없어.
  예를 들어, $\;x^2-4=0, \; 2x^2+3x=0\;$ 도 이차방정식이다.

• 이차방정식에서 가장 중요한 것은 방정식을 만족시키는 $x$의 값, 즉 해(근)를 찾는 거야.

• 이차방정식의 해는 $x$에 어떤 값을 넣었을 때 식이 0이 되는 값을 말해.
  예를 들어, $x=1$을 $x^2+2x-3=0$에 대입하면
  $1^2+2 \times 1-3=0$을 만족하므로 $x=1$은 $x^2+2x-3=0$의 해 또는 근이라고 해.

• 이차방정식을 푼다는 것은 이 해들을 모두 구하는 것을 의미해. 해는 보통 최대$2$ 개의 해를 가져요. (다만, $1$개, 또는 해가 없을 수도 있어.)

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 이차방정식은 최고차항이 $x^2$인 식이기 때문에, $x$에 대해 2차식과 같아. 2차식이 0이 되는 값을 찾는 것이 방정식을 푸는 것과 같아.

• 이 해들은 $x$에 대한 식 $ax^2 + bx + c = 0$을 만족시키는 수로, 식을 0으로 만드는 값이기 때문에 근이라고 불려.
  $x=p$가 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 해이면
  $x=p$를 $ax^2+bx+c=0$에 대입하면 등식이 성립한다는 의미지.

• 모든 이차방정식은 최대 $2$개의 해를 가질 수 있는데, 이 해들은 중학교 수준에서 보통 인수분해, 제곱근 이용, 또는 근의 공식으로 구할 수 있어.

• 방정식의 해가 $2$개일 때는 서로 다른 두 값이고, $1$개일 때는 두 해가 같은 값(중근)이며, 해가 없을 때는 식을 만족시키는 실수가 없다는 뜻이야.

• 이렇게 해를 찾으면, 원래 식을 만족시키는 $x$값을 모두 알게 되어 문제를 완전히 푼 것이야.

3️⃣ 예제 살펴보기

• '이차방정식을 풀어라'라는 의미는 이차방정식의 해를 모두 구하라는 것이지.

• 예를 들어,
  $x$의 값이 $-2, \;-1, \;0$일 때, 이차방정식 $x^2+3x+2=0$을 풀어라.

• 문제에서 주어진 $x$의 값을 이차방정식에 대입해 보면

• $x=-2\;$일 때, $(-2)^2+3\times(-2)+2=0\;$을 만족하므로
  $x=-2\;$는 해가 된다.

• $x=-1\;$일 때, $(-1)^{2}+3 \times (-1)+2=0\;$을 만족하므로
  $-1\;$은 해가 된다.

• $x=0$일 때, $0^2+3 \times 0 +2=2 \neq 0$ 되면서
  $x^2+3x+2=0$ 만족하지 않으므로 $x=0$은 해가 될 수 없다.
  따라서 $x^2+3x+2=0\;$의 해는 $x=-2, \; x=-1$이 된다.

• 이렇게 조건에 주어진 $x$의 값을 이차방정식에 대입해서 등호가 성립하면 해가 되는 것이고, 등호를 만족하지 않으면 해가 될 수 없어.