이차방정식과 그 해(근)

1️⃣ 사전 지식

이차방정식과 그 해(근)를 이해하려면 먼저 방정식과 일차방정식, 이차식 그리고 방정식의 해(근)의 개념을 알아야 해.

• 방정식: 등호($=$)를 사용해서 나타낸 식을 등식이라 하는데 $2x + 3= 0$과 같이 $x$의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 해.

• 일차방정식: (일차식) $= 0$ 꼴로 표현되는 방정식을 일차방정식이라고 해.

• 이차식: 다항식의 각 항의 차수 중에서 가장 큰 차수가 $2$인 다항식을 이차식이라고 해.

• 방정식의 해(근): 방정식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해(근)이라고 해.

2️⃣ 핵심 개념

고대 바빌로니아의 점토판에는 다음과 같은 문제가 새겨져 있어:
"어떤 정사각형의 넓이와 그 한 변의 길이를 더하면 $\dfrac{3}{4}$이다."
이 문제를 한 변의 길이를$x$라 하고, 정사각형의 넓이와 그 한 변의 길이의 관계를 식으로 표현하면 $x^2 + x = \dfrac{3}{4}$이고, 이 등식을 ($x$에 대한 이차식) $= 0$ 꼴로 표현하면
$$x^2 + x - \dfrac{3}{4} = 0$$
과 같이 표현할 수 있어.

• 이와 같이 모든 변을 좌변으로 이항하여 정리 하였을 때,
  $$(x에\; 대한\; 이차식) = 0$$ 꼴이 되는 방정식을 $x$에 대한 이차방정식이라고 해.
  일반적으로 $x$에 대한 이차방정식을 $$ax^2 +bx + c = 0\; (a,\; b,\; c는\; 수\; a \neq 0)$$ 꼴로 나타낼 수 있어.

이번에는 $x$의 값이 $0$, $1$, $2$, $3$일 때, 이차방정식 $x^2 -4x +3 = 0$이 참이 되는지 거짓이 되는지 알아보려고 해.

위의 표를 보면 $x = 1$, $x = 3$일 때, 이차방정식 $x^2 -4x +3 = 0$이 참이 됨을 알 수 있어.

• 이와 같이 이차방정식을 참이 되게 하는 $x$의 값을 그 이차방정식의 해 또는 근이라고 해.
  또한 이차방정식의 모든 해를 구하는 것을 이차방정식을 푼다고 해.

3️⃣ 예제 및 적용

• 수학적 예시:

  • $x^2 -x +3$은 이차방정식이 아니고 이차식이야. 왜냐하면 등호($=$)가 없어 방정식이 아니기 때문이야.
  • $x^2 +2x + 1 = x^2$은 이차방정식이 아니고 일차방정식이야. 왜냐하면 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 $2x + 1 = 0$으로 좌변이 일차식으로 정리되기 때문이야.
  • $3x = x^2 + 2$은 이차방정식이야. 왜냐하면 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 $-x^2 +3x -2 = 0$으로 ($x$에 대한 이차식) $= 0$ 꼴이기 때문이야.
    특히, 이차방정식 $-x^2 +3x -2 = 0$은 $x = 1$, $x = 2$일 때, 참이 되므로 이차방정식 $-x^2 +3x -2 = 0$의 해는 $x = 1$ 또는 $x = 2$야.

• 실생활 예시:

공 던지기 운동에서 공의 높이를 시간에 따라 나타낼 때, 특정 시간 때의 공의 위치를 이차방정식을 이용해 구할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 모든 변을 좌변으로 이항하여 정리 하였을 때,
  $$(x에\; 대한\; 이차식) = 0$$ 꼴이 되는 방정식을 $x$에 대한 이차방정식이라고 해.
  일반적으로 $x$에 대한 이차방정식을 $$ax^2 +bx + c = 0\; (a,\; b,\; c는\; 수\; a \neq 0)$$ 꼴로 나타낼 수 있어.
• 이차방정식을 참이 되게 하는 $x$의 값을 그 이차방정식의 해 또는 근이라고 해.
  또한 이차방정식의 모든 해를 구하는 것을 이차방정식을 푼다고 해.

학습 팁: 이차방정식인지 아닌지 판단할 때는 식을 좌변으로 정리해야 하는 걸 잊지않는게 중요해! 😊