인수분해 공식의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 복잡한 수의 계산에서 인수분해 공식을 이용하면 수의 계산을 간단히 할 수 있어.

$\quad$(1) 공통인 인수로 묶은 후 계산하기: $ma + mb = m(a + b)$

$\qquad$예) $28\times7+28\times3=28(7+3)=28\times10=280$

$\quad$(2) 완전제곱식 이용하기: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\;a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

$\qquad$예) $\begin{aligned} 101^2-202+1&=101^2+2\times101\times1+1^2\\ &=(101-1)^2\\ &=100^2=10000\end{aligned}$

$\quad$(3) 제곱의 차 이용하기: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

$\qquad$예) $87^2-13^2=(87+13)(87-13)=100\times 74= 7400$

• 식의 값을 구할 때, 주어진 식에 직접 대입하는 것보다 주어진 식을 인수분해 한 후 대입하면 더 쉽게 계산할 수 있어.
  예) $x = 102$일 때, $x^2 - 4x + 4$의 값은
  $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = (102 - 2)^2 = 100^2 = 10000$
  이처럼 $x^2 - 4x + 4$를 인수분해 한 후 $x = 102$를 대입하는 거야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 인수분해 공식을 활용하면 수의 계산이나 식의 값을 빠르고 쉽게 구할 수 있어.
  활용에 주로 이용되는 인수분해 공식을 요약하면
  $ma + mb = m(a + b)$
  $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 이야.

3️⃣ 예제 살펴보기

1. 인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산해보자.

• $\begin{aligned} 15\times47-15\times45&=15(47-45)\\ &=15\times2=30 \end{aligned}$

• $\begin{aligned} 51^2-102+1 &= 51^2-2 \times 51 \times 1+1^2 \\ &= (51-1)^2 \\ &= 50^2 = 2500 \end{aligned}$

• $\begin{aligned} 62^2 - 38^2 &= (62+38)(62-38) \\ &= 100 \times 24 = 2400 \end{aligned}$

2. 인수분해 공식을 이용하여 다음 식의 값을 구해보자.

• $x = 45$일 때, $x^2 +10x + 25$의 값은:
  $\begin{aligned} x^2 +10x +25 &= (x+5)^2 \\ & = (45 + 5)^2 \\ & = 2500 \end{aligned}$

• $a=7.2,\;b=2.8$일 때, $a^2-b^2$의 값은:
  $\begin{aligned} a^2 - b^2& = (a+b)(a-b) \\ &= (7.2+2.8)(7.2-2.8) \\ &= 10 \times 4.4 = 44 \end{aligned}$