인수분해 공식의 활용

1️⃣ 사전 지식

인수분해 공식의 활용을 이해하려면 인수, 인수분해와 인수분해 공식을 알아야해.

• 인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표현했을 때, 각각의 다항식을 처음 다항식의 인수라고 해.

• 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 표현한 것을 의미해.

• 인수분해 공식: 인수분해 공식은 다음 식을 이야기해. $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$
  $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
  $$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$$
  $$ax^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$$

2️⃣ 핵심 개념

다음과 같이 인수분해 공식을 이용하여 수의 곱셈과 식의 값의 계산을 편리하게 할 수 있어.

• 인수분해 공식(1)을 이용하는 경우
  $99^2 + 2 \times 99 +1 = (99 + 1)^2$
  $\hspace{2.58cm} = 10000$
  $105^2 - 5 \times 210 + 25$
  $= 105^2 - 2 \times 5 \times 105 + 5^2$
  $= (105 - 5)^2$
  $= 10000$

• 인수분해 공식(2)를 이용하는 경우
  $98.5^2 - 1.5^2$
  $= (98.5 + 1.5)(98.5 - 1.5)$
  $= 100 \times 97$
  $= 9700$
  $(\sqrt{2} + 2)^2 - (\sqrt{2} - 2)^2$
  $= (\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 2)$
  $= 2\sqrt{2} \times 4$
  $= 8\sqrt{2}$

• 인수분해를 이용한 식의 값 구하기
  $x = 45$일 때, $x^2 +10x + 25$의 값은
  $x^2 +10x +25 = (x+5)^2$
  $\hspace{2.22cm} = (45 + 5)^2$
  $\hspace{2.22cm} = 2500$

3️⃣ 예제 및 적용

실생활 예로, $x^3 +3x^2 +3 +x$는
$x^3 +3x^2 +3 +x = x^2(x+3) + (x+3)$
$\hspace{2.62cm} = (x+3)(x^2+1)$
와 같이 인수분해 돼.
이때, 컴퓨터를 이용해 $x = 2$에 대하여 식의 값을 구하고자 하면 인수분해가 되기 전의 식은 $x \times x \times x + 3 \times x \times x + 3 + x$와 같이 덧셈 $3$번, 곱셈 $4$번으로 총 $7$번의 연산을 해야 하지만 인수분해를 한 식은 $(x + 3) \times (x \times x + 1)$와 같이 덧셈 $2$번, 곱셈 $2$번으로 총 $4$번의 연산을 통해 식의 값을 구할 수 있어.
이와 같은 연산 횟수의 차이는 식이 길면 길수록 차이가 많이 나게 되는데 인수분해를 이용하면 효율적으로 컴퓨터의 처리 속도를 높여줄 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 인수분해 공식의 활용은 복잡한 식을 간단한 곱셈 형태로 바꾸어 계산을 빠르고 정확하게 하는 방법이야.
• 많이 쓰이는 공식은 인수분해 공식(1)과 인수분해 공식(2)이고, 이를 활용하면 수의 계산이나 식의 값을 구하는 데 편리해.

학습 팁: 연습할 때는 먼저 식이 어떤 공식에 해당하는지 확인하고, 공식에 맞게 변형하는 연습을 꾸준히 하는 게 좋아!
필요할 때 언제든 질문해~ 😊