복잡한 식의 인수분해

1️⃣ 핵심 개념

복잡한 식의 인수분해는 인수분해 공식을 이용하여 바로 인수분해 하기 힘든 경우를 이야기 해.
따라서 다음과 같은 방법으로 인수분해 할 수 있어.

1. 공통인수가 있는 경우 공통인수로 묶어 낸 뒤 인수분해 공식을 적용하면 돼.
   예를 들어, $3x^2y-9xy-12y = 3y(x^2-3x-4)$
   $\hspace{4.2cm} = 3y(x+1)(x-4)$

2. 공통부분이 있는 경우 공통부분을 한 문자로 바꾸어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
   예를 들어, $(x+1)(x+1-4)+4$에서 $x+1=A$로 놓으면
   $\begin{aligned} (x+1)(x+1-4)+4 &= A(A-4)+4 \\ & = A^2 - 4A +4 \\ & = (A - 2)^2 [A\text{에} x+1 \text{을 대입}] \\ &= (x - 1)^2 \end{aligned}$
   공통부분을 적당한 문자로 바꾸어 인수분해 한 경우에는 마지막에 원래의 식을 대입하여야 함에 주의하자!

3. 항이 $4$개인 경우 우선, 완전제곱식으로 인수분해 되는 $3$개의 항을 찾아서 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
   예를 들어,
   $\begin{aligned} x^2 - y^2 +4y -4& = x^2 - (y^2 -4y +4) \\ & = x^2 - (y-2)^2 \\ & = (x+y-2)(x-y+2) \end{aligned}$
   만약, 완전제곱식이 되는 항이 존재하지 않는다면 공통인수가 생기도록 적당한 항끼리 묶어서 인수분해 할 수 있어.
   예를 들어,
   $\begin{aligned} xy -y +x^2 -x &= y(x-1) + x(x-1) \\ &= (x-1)(x+y) \end{aligned}$

4. 항이 $5$개 이상인 경우 차수가 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 공통인수가 생기도록 적당한 항끼리 묶어서 인수분해 할 수 있어.
   특히, 항이 $5$개인 경우 인수분해 공식을 이용하여 인수분해 가능한 $3$개의 항을 찾아서 공통인수가 생기도록 유도해야 돼.
   예를 들어,
   $\begin{aligned} x^2 + x - 2 + xy - y& = (x+2)(x-1) + y(x-1) \\ & = (x-1)(x+y+2) \end{aligned}$

** 연습할 때는 항상 식을 여러 부분으로 나누고, 공통된 모양이나 수를 찾아보는 습관을 들이자!
** 특히, 복잡한 식의 인수분해를 하기 위해서는 인수분해 공식을 이용한 인수분해를 충분히 연습해야 잘할 수 있어!
** 이해하기 어려운 부분 있으면 언제든 물어봐~ 함께 풀어보자! 😊

2️⃣ 예제 살펴보기

1. 다음 식을 공통인 인수로 묶어 내어 인수분해 해보자.

• $\begin{aligned} x^3 +3x^2 +3 +x &= x^2(x+3) + (x+3) \\ &= (x^2+1)(x+3) \end{aligned}$

• $\begin{aligned} x^3 -9x &= x(x^2-9) \\ &= x(x+3)(x-3) \end{aligned}$

2. 다음 식을 공통부분을 한 문자로 바꾸어 인수분해 해보자.

• $\begin{aligned} (3x+1)^2-4(3x+1)-32 &= A^2-4A-32 \;[3x+1 \text{를}\;A\text{라 하면}] \\ & = (A+4) (A -8) \\ & = (3x+1+4)(3x+1-8) \;[A\text{에} 3x+1 \text{을 대입}] \\ &= (3x +5)(3x-7) \end{aligned}$

• $\begin{aligned} (x+1)^2+(x+1)-6 &= A^2+A-6 \;[x+1 \text{를}\;A\text{라 하면}] \\ & = (A-2)(A+3) \;[A\text{에} x+1 \text{을 대입}] \\ &= (x -1)(x+4) \end{aligned}$