복잡한 식의 인수분해

1️⃣ 사전 지식

복잡한 식의 인수분해를 이해하려면 인수, 인수분해와 인수분해 공식을 알아야해.

• 인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표현했을 때, 각각의 다항식을 처음 다항식의 인수라고 해.

• 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 표현한 것을 의미해.

• 인수분해 공식: 인수분해 공식은 다음 식을 이야기해. $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$
  $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
  $$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$$
  $$ax^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$$

2️⃣ 핵심 개념

복잡한 식의 인수분해는 인수분해 공식을 이용하여 바로 인수분해 하기 힘든 경우를 이야기 해.
따라서 다음과 같은 방법으로 인수분해 할 수 있어.

• 공통인수가 있는 경우 공통인수로 묶어 낸 뒤 인수분해 공식을 적용하면 돼.
  예를 들어, $3x^2y-9xy-12y = 3y(x^2-3x-4)$
  $\hspace{4.2cm} = 3y(x+1)(x-4)$

• 공통부분이 있는 경우 공통부분을 한 문자로 바꾸어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
  예를 들어, $(x+1)(x+1-4)+4 = A(A-4)+4$
  $\hspace{4.9cm} = A^2 - 4A +4$
  $\hspace{4.9cm} = (A - 2)^2$
  $\hspace{4.9cm} = (x - 1)^2$
  공통부분을 적당한 문자로 바꾸어 인수분해 한 경우에는 바꾼 식을 마지막에 원래대로 돌려주는 걸 잊으면 안돼!

• 항이 $4$개인 경우 우선, 완전제곱식으로 인수분해 되는 $3$개의 항을 찾아서 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
  예를 들어, $x^2 - y^2 +4y -4 = x^2 - (y^2 -4y +4)$
  $\hspace{4.02cm} = x^2 - (y-2)^2$
  $\hspace{4.02cm} = (x+y-2)(x-y+2)$
  만약, 완전제곱식이 되는 항이 존재하지 않는다면 공통인수가 생기도록 적당한 항끼리 묶어서 인수분해 할 수 있어.
  예를 들어, $xy -y +x^2 -x = y(x-1) + x(x-1)$
  $\hspace{3.92cm} = (x-1)(x+y)$

• 항이 $5$개 이상인 경우 차수가 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 공통인수가 생기도록 적당한 항끼리 묶어서 인수분해 할 수 있어.
  특히, 항이 $5$개인 경우 인수분해 공식을 이용하여 인수분해 가능한 $3$개의 항을 찾아서 공통인수가 생기도록 유도해야 돼.
  예를 들어, $x^2 + x - 2 + xy - y = (x+2)(x-1) + y(x-1)$
  $\hspace{4.54cm} = (x-1)(x+y+2)$
  또 항이 $6$개인 경우 특별히 두 상수 $a$, $b$가 아닌 두 다항식에 대해서 인수분해 공식 $x^2 +(a+b)x +ab = (x+a)(x+b)$를 이용하여 인수분해 할 수도 있어.
  예를 들어, $x^2 +2xy -x +y^2 -y -6 = x^2 +(2y-1)x +(y+2)(y-3)$
  $\hspace{5.46cm} = (x+y+2)(x+y-3)$

3️⃣ 예제 및 적용

실생활 예로, $x^3 +3x^2 +3 +x$는
$x^3 +3x^2 +3 +x = x^2(x+3) + (x+3)$
$\hspace{2.62cm} = (x+3)(x^2+1)$
와 같이 인수분해 돼.
이때, 컴퓨터를 이용해 $x = 2$에 대하여 식의 값을 구하고자 하면 인수분해가 되기 전의 식은 $x \times x \times x + 3 \times x \times x + 3 + x$와 같이 덧셈 $3$번, 곱셈 $4$번으로 총 $7$번의 연산을 해야 하지만 인수분해를 한 식은 $(x + 3) \times (x \times x + 1)$와 같이 덧셈 $2$번, 곱셈 $2$번으로 총 $4$번의 연산을 통해 식의 값을 구할 수 있어.
이와 같은 연산 횟수의 차이는 식이 길면 길수록 차이가 많이 나게 되는데 인수분해를 이용하면 효율적으로 컴퓨터의 처리 속도를 높여줄 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 공통인수가 있는 경우 공통인수로 묶어 낸 뒤 인수분해 공식을 적용하면 돼.
• 공통부분이 있는 경우 공통부분을 한 문자로 바꾸어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
• 항이 $4$개인 경우 우선, 완전제곱식으로 인수분해 되는 $3$개의 항을 찾아서 $A^2 - B^2$ 꼴로 만들어 인수분해 공식을 적용하면 돼.
• 항이 $5$개 이상인 경우 차수가 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 공통인수가 생기도록 적당한 항끼리 묶어서 인수분해 할 수 있어.

학습 팁: 연습할 때는 항상 식을 여러 부분으로 나누고, 공통된 모양이나 수를 찾아보는 습관을 들이자!
특히, 복잡한 식의 인수분해를 하기 위해서는 인수분해 공식을 이용한 인수분해를 충분히 연습하고 잘할 수 있어야 돼!
이해하기 어려운 부분 있으면 언제든 물어봐~ 함께 풀어보자! 😊