'인수분해 공식(3)'의 개념을 설명해줘

1️⃣ 사전 지식

인수분해 공식(3)를 이해하려면 인수, 인수분해곱셈공식(3)을 알아야해.

  • 인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표현했을 때, 각각의 다항식을 처음 다항식의 인수라고 해.

  • 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 표현한 것을 의미해.

  • 곱셈공식(3): 곱셈공식(3)는 다음 식을 이야기해. (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x +ab


2️⃣ 핵심 개념

  • 다음과 같은 세 종류의 사각형의 넓이를 생각해 볼 거야.
    인수분해 공식(3) 설명 사각형.png
    그럼 세 종류의 사각형의 넓이는 각각 x2x^2, xx, 11이므로 사각형의 넓이 합을
    x2+3x+2x^2 +3x +2으로 표현할 수 있어.

  • 이번에는 위의 세 종류의 사각형들을 합친 직사각형을 생각해 볼 거야.
    인수분해 공식(3) 설명 사각형2.png
    합쳐진 직사각형의 가로의 길이가 x+1x+1, 세로의 길이가 x+2x+2이므로 직사각형의 넓이를 (x+1)(x+2)(x+1)(x+2)로 표현할 수 있어.

  • 위의 세 종류의 사각형의 넓이 합과 이러한 사각형들을 합쳐 만든 직사각형의 넓이는 같으므로
    x2+3x+2=(x+1)(x+2)x^2 +3x +2 = (x+1)(x+2)
    임을 알 수 있어.
    이는 잘 살펴보면 곱셈공식(3)을 이용하여 (x+1)(x+2)(x+1)(x+2)를 전개한 식
    (x+1)(x+2)=x2+3x+2(x+1)(x+2) = x^2 +3x +2의 좌변과 우변을 바꾼 것과 같은데 이를 통해서 인수분해 공식(3)을 얻을 수 있어.

  • 인수분해 공식(3)은 다음과 같아:
    x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

인수분해 공식(3)을 이용하여 인수분해 할 때는 다음과 같은 조건을 동시에 만족하는 두 상수 aa, bb를 찾는게 중요해!

  • 상수의 합 a+ba+bxx의 계수
  • 두 상수의 곱 abab가 상수항

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어, x2+7x+12x^2 + 7x + 12를 인수분해해보면
두 상수 33, 44에 대해서

  • 3+4=73 + 4 = 7: xx의 계수
  • 3×4=123 \times 4 = 12: 상수항

을 만족하므로
x2+7x+12=x2+(3+4)x+3×4x^2 +7x +12 = x^2 + (3+4)x + 3 \times 4
=(x+3)(x+4)\hspace{2.02cm} = (x+3)(x+4)


4️⃣ 개념 정리

  • 인수분해 공식(3)은 다음과 같아:
    x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
  • 상수의 합 a+ba+bxx의 계수 / 두 상수의 곱 abab가 상수항
    을 동시에 만족하는 두 상수 aa, bb를 찾는게 중요해!

연습을 통해 조건을 만족하는 aabb를 빠르게 찾는 감각을 키우는 게 중요해. 😊


인수분해 공식(3)을 이용할 때 두 수의 합과 곱을 찾는 방법은 왜 중요할까?
x2x^2의 계수가 11인 식에 대해서만 인수분해 공식(3)을 쓸 수 있을까?
모든 x2+ax+bx^2 +ax +b꼴의 다항식은 인수분해 공식(3)을 이용하여 인수분해 할 수 있을까?

이어서 질문하기

  • '개념(익히기)' 풀기 Enter

  • '인수분해 공식(3)'의 특성에 대해 조금 더 자세히 설명해줘

  • 인수분해 공식(3)을 이용할 때 두 수의 합과 곱을 찾는 방법은 왜 중요할까?

  • x2x^2의 계수가 11인 식에 대해서만 인수분해 공식(3)을 쓸 수 있을까?

  • 모든 x2+ax+bx^2 +ax +b꼴의 다항식은 인수분해 공식(3)을 이용하여 인수분해 할 수 있을까?

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