인수분해 공식(1)

1️⃣ 핵심 개념

• 오늘은 인수분해 공식(1) $a^2 \pm 2ab + b^2$ 형태의 식에 대해 알아볼꺼야.

1. 인수분해 공식(1)은 다음과 같아.
   $\quad①$ $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\quad \Rightarrow\;$ 예) $a^2+6a+9=(a+3)^2$
   $\quad②$ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\quad \Rightarrow\;$ 예) $a^2-2a+1=(a-1)^2$

• 다음 사각형 그림에서 인수분해 공식(1) - $①$을 증명해보자.
  

작은 사각형 네 개의 넓이의 합은 큰사각형 가로($a+b$)와 세로 ($a+b$)의 곱과 같아.
따라서, $a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2$ 임을 알 수 있어.

2. 인수분해 공식(1)을 이용하여 인수분해 하면 완전제곱식으로 인수분해가 돼.

• 여기서 완전제곱식이란 다항식의 제곱으로 이루어진 식 또는 이 식에 상수를 곱한 식을 뜻해.
  예를 들면, $(x+2)^2$, $-2(a+b)^2$, $3(x-2y)^2$처럼 말이야.

3. 어떤 다항식 $x^2 +ax +b$가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 다음과 같아.
   $\quad$ $b$의 조건: $b = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$
   예를 들어, $x^2+4x+b$가 완전제곱식이 되기 위한 $b$의 조건은
   $b=\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=4$ 이 되는 거야.

2️⃣ 예제 살펴보기

• 다음은 다항식을 인수분해하는 과정이야. $\Box$안에 알맞은 수를 찾아보자.

  식	결과
  (1) $a^2+4a+4=a^2+2\times a\times\Box+\Box^2=(a+\Box)^2$	$2,\;2,\;2$
  (2) $x^2-6x+9=x^2-2\times x\times\Box+\Box^2=(x-\Box)^2$	$3,\;3,\;3$

• 다음 식을 인수분해해보자.

  식	결과
  (1) $a^2+2a+1$	$(a+1)^2$
  (2) $x^2+8x+16$	$(x+4)^2$
  (3) $4x^2+4x+1$	$(2x+1)^2$

• 다음 식이 완전제곱식이 되도록 $\Box$안에 알맞은 수를 넣어보자.

  식	결과
  (1) $x^2+10x+\Box$	$25$
  (2) $a^2+8ab+\Box b^2$	$16$
  (3) $x^2-x+\Box$	$\dfrac{1}{4}$

\(a^2 + 2ab + b^2\)가 아닌 식을 완전제곱식으로 바꿀 수 있을까?