인수분해 공식(1)

1️⃣ 사전 지식

인수분해 공식(1)를 이해하려면 인수, 인수분해와 곱셈공식(1)을 알아야해.

• 인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표현했을 때, 각각의 다항식을 처음 다항식의 인수라고 해.

• 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 표현한 것을 의미해.

• 곱셈공식(1): 곱셈공식(1)은 다음 두 식을 이야기해. $$(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2$$

2️⃣ 핵심 개념

• 다음과 같은 세 종류의 사각형의 넓이를 생각해 볼 거야.
  
  그럼 세 종류의 사각형의 넓이는 각각 $a^2$, $ab$, $b^2$이므로 사각형의 넓이 합을
  $a^2 +2ab +b^2$으로 표현할 수 있어.

• 이번에는 위의 세 종류의 사각형들을 합친 정사각형을 생각해 볼 거야.
  
  합쳐진 정사각형의 한 변의 길이가 $a+b$이므로 정사각형의 넓이를 $(a+b)^2$으로 표현할 수 있어.
  위의 세 종류의 사각형의 넓이 합과 이러한 사각형들을 합쳐 만든 정사각형의 넓이는 같으므로 $$a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2$$
  임을 알 수 있어.
  이는 잘 살펴보면 곱셈공식(1)의 좌변과 우변을 바꾼 것과 같은데 이를 통해서 인수분해 공식(1)을 얻을 수 있어.

• 인수분해 공식(1)은 다음과 같아:
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

특히, 인수분해 공식(1)을 이용하여 인수분해 하면 완전제곱식으로 인수분해가 돼.

• 여기서 완전제곱식이란 $(x+2)^2$, $-2(a+b)^2$, $3(x-2y)^2$와 같이 다항식의 제곱으로 이루어진 식이나 이 식에 상수를 곱한 식을 뜻해.

인수분해 공식(1)은 어떤 다항식을 완전제곱식으로 인수분해 하므로 어떤 다항식이 완전제곱식이 되는지 알면 인수분해 공식(1)을 이용하여 다항식을 인수분해 할 수 있어.

• 어떤 다항식 $x^2 +ax +b$가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 다음과 같아.

1. $b = (\dfrac{a}{2})^2$
2. $a = \pm2\sqrt{b}$ (단, $b>0$)

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어, 다항식 $a^2 + 6ab + □$이 완전 제곱식이 되기 위해서는 $□ = \left(\dfrac{6b}{2}\right) = 9b^2$이고 이때 다항식 $a^2 +6ab + b^2$을 인수분해 하면

$a^2 +6ab +9b^2 = a^2 + 2 \times a \times 3b + (3b)^2$
$\hspace{2.28cm} = (a + 3b)^2$

4️⃣ 개념 정리

• 완전제곱식은 $(x+2)^2$, $-2(a+b)^2$, $3(x-2y)^2$와 같이 다항식의 제곱으로 이루어진 식이나 이 식에 상수를 곱한 식을 뜻해.
• 인수분해 공식(1)은 다음과 같아:
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$
• 인수분해 공식(1)은 다음과 같아:
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

학습 팁!
완전제곱식인지 확인할 때는 첫 항과 마지막 항의 제곱근을 찾고, 가운데 항이 두 제곱근의 곱의 $2$배인지 확인하는 습관을 들이면 좋아. 😊