곱셈공식 변형

1️⃣ 핵심 개념

• 곱셈공식은 다항식을 곱할 때 자주 쓰는 공식으로, 대표적으로

• ① $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 에서
  $\quad a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ 로 변형하고

• ② $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 에서
  $\quad a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$ 로 변형을 해.

• ①, ② 로 곱셈공식의 변형에서 가장 중요한 공식이 만들어지지.
  $\therefore \; a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;=(a-b)^2 + 2ab$

• 또 $(a+b)^2$ 와 $(a-b)^2$ 사이에도 관계가 있어서
  ③ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
  ④ $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
  와 같이 표현할 수 있어.

• 여기서 $b$ 대신 $\dfrac{1}{a}$를 대입하면, $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$ 나 $\left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2$ 같은 식으로 바꿀 수 있어. 이때도 같은 원리가 적용해서
  ⑤ $\; a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2 - 2=\left(a-\dfrac{1}{a} \right)^2 + 2$
  ⑥$\; \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2 = \left(a-\dfrac{1}{a} \right)^2 + 4, \\\;\;\;\; \left(a-\dfrac{1}{a} \right)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a} \right)^2 - 4$
  로 변경할 수 있어.

위에 나오는 ① ~ ⑥ 공식은 매우 중요한 공식이니까 반드시 외우고 있어야 하는 거야. 정말 중요하지!😊

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 곱셈공식 변형은 기본 공식에서 출발해 식을 재배열하는 과정이야. 예를 들어 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 에서 양변에 $2ab$를 빼면
  $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ 가 돼.
• 마찬가지로 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 에서 $2ab$를 더하면
  $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$ 가 되는 거야.
• $(a+b)^2$ 와 $(a-b)^2$ 차이를 생각해보면, 두 식의 차이는 $4ab$임을 알 수 있어. 그래서 $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ 이고, 이를 변형하면 위의 관계식들이 만들어져.
• $b$ 대신 $\dfrac{1}{a}$ 를 넣으면, 곱셈공식의 변형도 그대로 적용돼.
  예를 들어
  $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 - 2$
  가 되는 거지.
• 이렇게 변형식을 이용하면 복잡해 보이는 식도 더 간단하게 계산하거나 정리할 수 있어.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예를 들어, $x+y=5, \; xy=-4 \;$일 때 $x^2+y^2$의 값을 구하려고 하면
  위에서 배운 곱셈공식의 변형을 이용해서
  $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\\ \quad \quad \quad \;=5^2-2 \times (-4)=25+8=33$
  값을 구할 수가 있어.
• 여기서 $x-y=5, \; xy=-4 \;$일 때 $x^2+y^2$의 값을 구하려고 하면
  $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy\\ \quad \quad \quad \;=5^2+2 \times (-4)=25-8=17$
  값을 구할 수가 있어.