곱셈공식 변형

'곱셈공식 변형'의 개념을 설명해줘

1️⃣ 사전 지식

곱셈공식 변형을 이해하려면 먼저 곱셈공식(1)을 알아야 해.

  • 곱셈공식(1)은 다음 두 식을 이야기해.
    (a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

2️⃣ 핵심 개념

  • 곱셈공식을 변형은 곱셈공식 중에서도 곱셈공식(1)에 대한 변형을 다룰거야.
    곱셈공식 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2에서 우변의 2ab2ab를 이항하면
    a2+b2=(a+b)2−2ab\large a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
    또 곱셈공식 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2에서 우변의 −2ab-2ab를 이항하면
    a2+b2=(a−b)2+2ab\large a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab
    위의 두 변형은 두 수의 값을 모르더라도 각각의 제곱 합을 두 수의 합과 곱 또는 차와 곱을 이용해 구할 수 있도록 해줘.

예를 들어, a+b=2a+b = 2이고 ab=3ab = 3일 때,
a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×3=−2a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 2^2 - 2 \times 3 = -2임을 알 수 있어.

  • 이번에는 위의 두 변형에서 a2+b2a^2 + b^2에 대하여 같다고 놓으면
    (a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab(a+b)^2 -2ab = (a-b)^2 +2ab을 만족해.
    여기서 좌변의 −2ab-2ab를 이항하면
    (a+b)2=(a−b)2+4ab\large (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab
    우변의 2ab2ab를 이항하면
    (a−b)2=(a+b)2−4ab\large (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab
    이 두 변형은 두 수의 합과 곱 또는 합과 차를 이용해 두 수의 차 또는 두 수의 합을 구할 수 있도록 해줘.

예를 들어, a−b=4a-b = 4이고 ab=1ab = 1일 때,
(a+b)2=(a−b)2+4ab=42+4×1=20(a+b)^2 = (a-b)^2 +4ab = 4^2 + 4 \times 1 = 20이므로
a+b=±20=±25a+b = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}임을 알 수 있어.

  • 정리하면 곱셈공식 변형은 다음 네 가지 식을 이야기해.
    a2+b2=(a+b)2−2ab\large a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
    a2+b2=(a−b)2+2ab\large a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab
    (a+b)2=(a−b)2+4ab\large (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab
    (a−b)2=(a+b)2−4ab\large (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab

  • 특별히, 두 수가 역수 관계인 경우
    즉, b=1ab = \dfrac{1}{a}인 경우 ab=a×1a=1ab = a \times \dfrac{1}{a} = 1이므로 곱셈공식 변형을 다음과 같이 표현할 수 있어.
    a2+(1a)2=(a+1a)2−2\large a^2 + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 - 2
    a2+(1a)2=(a−1a)2+2\large a^2 + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 + 2
    (a+1a)2=(a−1a)2+4\large \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 + 4
    (a−1a)2=(a+1a)2−4\large \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 - 4

3️⃣ 예제 및 적용

  • 예를 들어, a−1a=−3a - \dfrac{1}{a} = -3일 때,
    a2+(1a)2=(a−1a)2+2a^2 + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 +2
    =(−3)2+2\hspace{1.78cm} = (-3)^2 + 2
    =11\hspace{1.78cm} = 11
    임을 알 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

  • 곱셈공식 변형은 곱셈공식(1)을 변형하여 각각의 값을 몰라도 두 수의 합, 차, 제곱의 합과 같은 형태의 값을 구할 수 있도록 도와줘.
  • 곱셈공식 변형은 다음과 같아.
    a2+b2=(a+b)2−2ab\large a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
    a2+b2=(a−b)2+2ab\large a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab
    (a+b)2=(a−b)2+4ab\large (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab
    (a−b)2=(a+b)2−4ab\large (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab
  • 두 수가 역수 관계 일 때 곱셈공식 변형은 다음과 같아.
    a2+(1a)2=(a+1a)2−2\large a^2 + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 - 2
    a2+(1a)2=(a−1a)2+2\large a^2 + \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 + 2
    (a+1a)2=(a−1a)2+4\large \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 + 4
    (a−1a)2=(a+1a)2−4\large \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 = \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 - 4

학습 팁: 곱셈공식(1)을 외우고 변형하는 연습을 하면 실력이 쑥쑥 늘 거야! 😊

곱셈공식 변형을 이용해 역수 관계를 쉽게 계산하는 방법은?
곱셈공식 변형이 실생활 문제 해결에 어떻게 도움이 될까?
(a+b)2(a+b)^2와 (a−b)2(a-b)^2의 관계를 이용해 a2+b2a^2+b^2를 표현하는 방법은?

이어서 질문하기

  • '개념(익히기)' 풀기 Enter

  • '곱셈공식 변형'의 특성에 대해 조금 더 자세히 설명해줘

  • 곱셈공식 변형을 이용해 역수 관계를 쉽게 계산하는 방법은?

  • 곱셈공식 변형이 실생활 문제 해결에 어떻게 도움이 될까?

  • (a+b)2(a+b)^2와 (a−b)2(a-b)^2의 관계를 이용해 a2+b2a^2+b^2를 표현하는 방법은?

  • favicon[EBS 수학의 답] 곱셈공식의 활용 - 곱셈공식의 변형(2)

  • favicon[EBS 수학의 답] 곱셈공식의 활용 - 곱셈공식의 변형(1)