곱셈공식을 이용한 수의 계산

1️⃣ 사전 지식

곱셈공식을 이용한 수의 계산을 이해하려면 먼저 곱셈공식(1)과 곱셈공식(2)와 곱셈공식(3)을 알아야 해.

• 곱셈공식(1)은 다음 두 식을 이야기해. $$(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2$$
• 곱셈공식(2)는 다음 식을 이야기해. $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
• 곱셈공식(3)은 다음 식을 이야기해. $$(x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x +ab$$

2️⃣ 핵심 개념

다음과 같이 곱셈공식을 이용하여 수의 곱셈을 편리하게 계산할 수 있어.

• 곱셈공식(1)을 이용하는 경우
  $101^2 = (100 + 1)^2$
  $\hspace{0.76cm} = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2$
  $\hspace{0.76cm} = 10000 + 200 + 1$
  $\hspace{0.76cm} = 10201$
  $97^2 = (100 - 3)^2$
  $\hspace{0.58cm}= 100^2 - 2 \times 100 \times 3 + (-3)^2$
  $\hspace{0.58cm} = 10000 - 600 + 9$
  $\hspace{0.58cm} = 9409$
  $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$
  $= (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
  $= 2 + 2\sqrt{6} + 3$
  $= 5 + 2\sqrt{6}$

• 곱셈공식(2)를 이용하는 경우
  $45 \times 55 = (50 - 5)(50 + 5)$
  $\hspace{1.22cm} = 50^2 - 5^2$
  $\hspace{1.22cm} = 2500 - 25$
  $\hspace{1.22cm} = 2475$
  $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} -2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2$
  $\hspace{ 2.8cm} = 5 - 4$
  $\hspace{2.8cm} = 1$

• 곱셈공식(3)을 이용하는 경우
  $10.2 \times 10.3$
  $= (10 + 0.2)(10 + 0.3)$
  $= 10^2 + (0.2 + 0.3) \times 10 + 0.2 \times 0.3$
  $= 100 + 5 + 0.06$
  $= 105.06$
  $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 2)$
  $= (\sqrt{3})^2 + (1 - 2) \times \sqrt{3} + 1 \times (-2)$
  $= 3 - \sqrt{3} - 2$
  $= 1 - \sqrt{3}$

이처럼 곱셈공식에서 $a$, $b$, $x$와 같은 문자를 적당한 수로 잡아 계산하면 수의 계산을 편리하게 할 수 있어.

3️⃣ 개념 정리

• 곱셈공식에서 $a$, $b$, $c$와 같은 문자를 적당한 수로 잡아 계산하여 복잡한 곱셈을 쉽게 할 수 있어.
• 보통 일의 자리 수가 $0$이거나 $10$의 거듭제곱 꼴의 수를 적당한 수로 잡으면 곱셈공식을 이용하기 편해.

학습 팁: 공식들을 외우고, 식에 맞게 활용하는 연습이 중요해.😊