곱셈공식을 이용한 수의 계산

1️⃣ 핵심 개념

• 곱셈공식은 두 수나 식을 빠르고 쉽게 곱하는 방법을 알려주는 공식이야.
• 대표적인 곱셈공식은
  ⑴$\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  ⑵$\; (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  ⑶$\;(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
  이렇게 세 가지가 있어.
• 이 공식을 이용하면 수의 제곱을 빠르게 계산할 수 있고, 두 수의 곱도 더 간단하게 나타낼 수 있어.
• 분모에 루트가 있을 때는 곱셈공식을 이용해 분모를 유리수로 바꾸는 ‘분모의 유리화’도 할 수 있어.
• 이렇게 하면 계산이 더 쉽고, 결과를 더 깔끔하게 표현할 수 있어.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 먼저 $(a+b)^2$의 뜻은 $(a+b) \times (a+b)$야.
  곱셈공식에 따라 $a^2 + 2ab + b^2$로 바꿀 수 있어.
  이걸 직접 곱해 보면, $\; a \times a = a^2 ,\; a \times b = ab ,\; b \times a = ab ,\; b \times b = b^2$가 되고, 중간의 두 $\;ab$를 더해 $\;2ab$가 되는 거야.
• $(a-b)^2$도 마찬가지로 $(a-b)(a-b)$를 전개하면 $a^2 - 2ab + b^2$가 돼.
• $(a+b)(a-b)$는 ‘합과 차의 곱’으로 불리는데, 두 식을 곱하면 중간 항들이 서로 없어져서 $a^2 - b^2$가 돼.
• 분모의 유리화는 분모에 $\sqrt{b}$ 같은 루트가 있을 때, 분자와 분모에 $\sqrt{b}$의 부호를 바꾼 식을 곱해 분모를 $b$처럼 루트가 없는 수로 바꾸는 방법이야.
  이때 곱셈공식 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$가 사용돼.
• 예를 들어, $\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}$의 분모를 유리화하려면 분자와 분모에 $\sqrt{3}-1$을 곱해 $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2$로 바꾸는 거야.

3️⃣ 예제 살펴보기

• ⑴$\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$를 이용한 예를 들어보면, $13^2$를 계산할 때, $13 = 10 + 3$로 생각하고 $(10+3)^2$를 사용해 보자. 곱셈공식에 따라
  $13^{2}=(10+3)^2 =10^2 + 2 \times 10 \times 3 + 3^2 \\ \;\;\;\;\;\;= 100 + 60 + 9 = 169$가 된다.
• ⑵$\;(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 를 이용한 예를 보면, 두 수 $17 \times 13$을 곱할 때, $17 = 15 + 2$, $13 = 15 - 2$로 바꾸면 $(15+2)(15-2)$가 되어, 곱셈공식에 따라
  $17 \times 13 = (15+2)(15-2) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=15^2 - 2^2 = 225 - 4 = 221$가 된다.
• $\;(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$를 이용한 대표적인 계산인 분모의 유리화를 해보면, $\dfrac{5}{2 + \sqrt{3}}$에서 분모를 유리화하려고 분자와 분모에 $2 - \sqrt{3}$을 곱한다. 분모는 $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$이 되고, 분자는 $5(2 - \sqrt{3}) = 10 - 5\sqrt{3}$가 된다. 정리하면
  $\dfrac{5}{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{5(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} =\dfrac{10-5\sqrt{3}}{4-3}=10 - 5\sqrt{3}$
  결과는 $10 - 5\sqrt{3}$가 된다.