곱셈공식 (4)

1️⃣ 사전 지식

곱셈공식(4)를 이해하려면 먼저 다항식과 다항식의 곱셈에 대해서 알아야 해.

• 다항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 활용해 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 모든 항에 곱하여 계산해.
  즉, 두 다항식 $(a+b)$, $(c+d)$에 대해서
  $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$ 와 같이 전개할 수 있어.

2️⃣ 핵심 개념

• 우선, 다음과 같은 직사각형의 넓이를 생각해보자.
  전체 직사각형의 가로와 세로의 길이가 각각 $ax+b$, $cx+d$이므로 넓이는 $(ax+b)(cx+d)$야. 이때, 각각의 직사각형 넓이가 $acx^2$, $adx$, $bcx$, $bd$이므로 $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad+bc)x + bd$임을 알 수 있어.

또 다른 방법으로, $(ax+b)(cx+d)$를 분배법칙을 이용하여 전개해도 다음과 같은 결과를 얻을 수 있어.
$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + adx + bcx + bd$
$\hspace{2.58cm} = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

• 정리하면 곱셈공식(4)은 다음과 같아.
  $$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x +bd$$

이 공식은 복잡한 다항식을 빠르고 정확하게 전개할 수 있게 해줘!

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, $(2x+1)(3x-7)$을 계산해 보자!
  $(2x+1)(3x-7)$
  $= (2 \times 3)x^2 +(2 \times (-7) + 1 \times 3)x +1 \times (-7)$
  $= 6x^2 -11x -7$
• 실생활 예로,우리가 사과 상자를 만들고 싶다고 해보자.
  상자의 가로 길이가 $(2a + 3b)\ \text{cm}$, 세로 길이가 $(4a + b)\ \text{cm}$ 라고 할 때,
  상자의 바닥 면적은 $(2a + 3b)(4a + b)\ \text{cm}^2$가 되고, 이걸 전개하면
  $(2a+3b)(4a+b) = 8a^2 +14ab +3b^2\ (\text{cm}^2)$으로 표현할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 곱셈공식(4)은 다음과 같아. $$(ax+b)(cx+d) = acx^2 +(ad+bc)x +bd$$
• 분배법칙을 이용해서 직접 전개해보면 쉽게 외울 수 있어.

연습할 때는 각 항을 빠뜨리지 않고 모두 곱하는 것이 중요해! 😊