곱셈공식(1)

1️⃣ 사전 지식

곱셈공식(1)을 이해하려면 먼저 다항식과 다항식의 곱셈에 대해서 알아야 해.

• 다항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 활용해 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 모든 항에 곱하여 계산해.
  즉, 두 다항식 $(a+b)$, $(c+d)$에 대해서
  $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$ 와 같이 전개할 수 있어.

2️⃣ 핵심 개념

• 우선, 다음과 같은 직사각형의 넓이를 생각해보자.
  전체 직사각형의 가로와 세로의 길이 모두 $a+b$이므로
  넓이는 $(a+b)^2$이야.
  이때, 각각의 직사각형 넓이가 $a^2$, $ab$, $ab$, $b^2$이므로 $(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$임을 알 수 있어.

또 다른 방법으로 $(a+b)^2$을 $(a+b)(a+b)$로 고친 후 분배법칙을 이용하여 전개해도 다음과 같은 결과를 얻을 수 있어.
$(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2$
$\hspace{2.17cm} = a^2 + 2ab + b^2$

• 이번에는 또 다른 직사각형의 넓이를 생각해볼거야.
  전체 직사각형의 가로와 세로의 길이 모두 $a$이므로 넓이는 $a^2$이야.
  이때, 색칠한 부분의 넓이에 대해서 다음이 성립해.
  $(a-b)^2 = a^2 - \left\{ b(a-b) + b(a-b) + b^2 \right\}$
  $\hspace{1.27cm} = a^2 - (ab - b^2 + ab - b^2 + b^2)$
  $\hspace{1.27cm} = a^2 - (2ab - b^2)$
  $\hspace{1.27cm} = a^2 - 2ab + b^2$

또 다른 방법으로 $(a-b)^2$을 $(a-b)(a-b)$로 고친 후 분배법칙을 이용하여 전개해도 다음과 같은 결과를 얻을 수 있어.

$(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2$
$\hspace{2.17cm} = a^2 - 2ab + b^2$

• 정리하면 곱셈공식(1)은 다음과 같아.
  $$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$$

이 공식들은 복잡한 다항식을 빠르고 정확하게 전개할 수 있게 해줘!

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어, $(2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2 \times (2x) \times (3y) + (3y)^2$
$\hspace{3.11cm} = 4x^2 +12xy +9y^2$
와 같이 계산할 수 있어.

실생활 예로, 네가 친구에게 선물을 주려고 하는데, 포장지 크기를 구해야 한다고 생각해 보자. 포장지 한 변의 길이가 $(x + 3)\ \text{cm}$라면, 포장지의 넓이는 $(x + 3)^2\ \text{cm}^2$이 돼. 이걸 곱셈공식(1)을 이용하여 전개하면 $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\ (\text{cm}^2)$로 표현할 수도 있어.

또 다른 예로, 자동차의 속도 차이가 $(v - u)$일 때, 이 속도 차이의 제곱 $(v - u)^2$를 이용해 거리나 시간 계산에 활용할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 곱셈공식(1)은 다음과 같아. $$(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
• 분배법칙을 이용하여 직접 전개해보면 공식을 쉽게 외우고 사용할 수 있어.

학습 팁: 이 공식을 외울 때 중간 항의 부호와 계수$2$에 특히 주의하면 좋아! 😊