곱셈공식 (1)

'곱셈공식 (1)'의 개념을 설명해줘

1️⃣ 핵심 개념

  • 오늘은 다항식끼리의 곱에서 빠르고 정확하게 계산하기 위한 기본공식에 대해서 학습할꺼아. 그 중 곱셈공식(1) 은 다음과 같아.
    ① (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2
    ② (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  • 분배법칙을 이용하면
    (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
    (a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = (a-b)(a-b)= a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2
    임을 알 수 있지.

2️⃣ 개념 더 알아보기

곱셈공식(1)의 개념을 좀 더 자세히 알아보자.

  • 다음과 같은 정사각형의 넓이를 생각해보자.
    image.png
    전체 정사각형의 가로와 세로의 길이 모두 (a+b)(a+b)이므로
    넓이는 (a+b)2(a+b)^2이야.
    이때, 각각의 직사각형 넓이가 a2a^2, abab, abab, b2b^2이므로
    (a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2임을 알 수 있어.

  • 이번에는 또 다른 정사각형의 넓이를 생각해볼거야.
    image.png

전체 정사각형의 가로와 세로의 길이 모두 aa이므로 넓이는 a2a^2이야.
이때, 색칠한 부분의 넓이에 대해서 다음이 성립해.
(a−b)2=a2−{b(a−b)+b(a−b)+b2}(a-b)^2 = a^2 - \left\{ b(a-b) + b(a-b) + b^2 \right\}
=a2−(ab−b2+ab−b2+b2)\hspace{1.27cm} = a^2 - (ab - b^2 + ab - b^2 + b^2)
=a2−(2ab−b2)\hspace{1.27cm} = a^2 - (2ab - b^2)
=a2−2ab+b2\hspace{1.27cm} = a^2 - 2ab + b^2
라는 것도 알 수 있겠지?

3️⃣ 예제 살펴보기

  • 다음 식을 전개해보자.
식 결과
(1) (x+1)2(x+1)^2 x2+2x+1x^2+2x+1
(2) (x−3)2(x-3)^2 x2−6x+9x^2-6x+9
(3) (3x+1)2(3x+1)^2 9x2+6x+19x^2+6x+1
(4) (2a−3b)2(2a-3b)^2 4a2−12ab+9b24a^2-12ab+9b^2

학습 팁: 이 공식에서는 **중간 항의 부호(±)(\pm)에 특히 주의해야 한다는 것 잊지 마! 😊

(a+b)2(a+b)^2 공식에서 중간 항의 2ab2ab는 왜 항상 22가 붙을까?
실생활에서 (a−b)2(a-b)^2 공식이 쓰이는 예를 더 생각해볼 수 있을까?
(a+b)2(a+b)^2와 (a−b)2(a-b)^2를 구분하는 가장 쉬운 방법은 뭐야?