다항식과 다항식의 곱셈

1️⃣ 핵심 개념

• (다항식) $\times$ (다항식)의 계산 순서는 다음과 같애.
  ① 분배법칙을 이용하여 전개한다.
  ② 동류항이 있으면 동류항끼리 모아서 계산한다.
  즉, 두 다항식 $(a+b)$, $(c+d)$에 대해서
  $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$
  와 같이 전개할 수 있어.

• 예를 들어 이해 해보자.
  $(a+b)(a+2b)\;$ [분배법칙을 이용한다.]
  $= a^2+2ab+ab+2b^2\;$ [동류항끼리 정리한다.]
  $=a^2+3ab+2b^2$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 다항식의 곱셈에서 중요한 점은 분배법칙이야. 분배법칙을 이해하기 위해 다음과 같은 직사각형의 넓이를 생각해보자.
  

전체 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 $a+b$, $c+d$이므로 넓이는 $(a+b)(c+d)$야.
이때, 각각의 직사각형 넓이가 $ac$, $ad$, $bc$, $bd$이므로 $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ 임을 알 수 있어.

• 또 다른 방법으로 두 다항식의 곱 $(a+b)(c+d)$에서 $(c+d) = X$라 한다면 분배법칙을 이용하여
  $(a+b)(c+d) = (a+b)X$
  $\hspace{2.17cm} = aX + bX$
  $\hspace{2.17cm} = a(c+d) + b(c+d)$
  $\hspace{2.17cm} = ac + ad + bc + bd$
  가 성립함을 알 수 있어.
• 즉(다항식) $\times$ (다항식)은
  
  와 같이 전개하는 것을 알 수 있겠지?

3️⃣ 예제 살펴보기

• 다음 식을 전개해 보자.

  식	결과
  (1) $(a+2)(2b-3)$	$2ab-3a+4b-6$
  (2) $(a+2b)(-3c+d)$	$-3ac+ad-6bc+2bd$
  (3) $(x+2)(y-4)$	$xy-4x+2y-8$
  (4) $(x-y)(x+y-3)$	$x^2-3x-y^2+3y$

• 실생활에서 예를 들어볼게!
  만약 가로가 $(x + 2)\ \text{m}$, 세로가 $(x + 3)\ \text{m}$ 인 직사각형 모양의 정원이 있다고 해보자.
  이 정원의 넓이는 가로 길이와 세로 길이를 곱한 것과 같으니까, $(x + 2)(x + 3)$이야.
  따라서 정원의 넓이를 계산하면
  $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6$
  $\hspace{2.26cm} = x^2 + 5x + 6\ (\text{m}^2)$
  으로 계산할 수 있어.
  이렇게 다항식 곱셈은 면적 계산 같은 실생활에서 활용할 수 있어!