다항식과 다항식의 곱셈

1️⃣ 사전 지식

다항식의 곱셈을 이해하려면 먼저 다항식과 분배법칙이 무엇인지 알아야 해.

• 다항식은 하나 이상의 항의 합으로 이루어진 식을 뜻해.
  예를 들어, $2x + y$, $-3x^2$, $7$는 모두 다항식이야.
• 분배법칙은 어떤 두 수의 합에 어떤 수를 곱한 것은 두 수 각각을 곱하여 더한 것과 같다는 것으로
  세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여
  $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
  $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$
  가 성립하는 걸 뜻해.

2️⃣ 핵심 개념

• 우선, 다음과 같은 직사각형의 넓이를 생각해보자.
  전체 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 $a+b$, $c+d$이므로 넓이는 $(a+b)(c+d)$야.
  이때, 각각의 직사각형 넓이가 $ab$, $ad$, $bc$, $bd$이므로 $(a+b)(c+d) = ab + ad + bc + bd$임을 알 수 있어.

• 또 다른 방법으로 두 다항식의 곱 $(a+b)(c+d)$에서 $(c+d) = X$라 한다면 분배법칙을 이용하여
  $(a+b)(c+d) = (a+b)X$
  $\hspace{2.17cm} = aX + bX$
  $\hspace{2.17cm} = a(c+d) + b(c+d)$
  $\hspace{2.17cm} = ac + ad + bc + bd$
  가 성립함을 알 수 있어.

• 정리하면 다항식과 다항식의 곱셈은
  두 다항식 $(a+b)$, $(c+d)$에 대해서
  $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$ 와 같이 전개할 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

실생활 예를 들어볼게!

• 만약 가로가 $(x + 2)\ \text{m}$, 세로가 $(x + 3)\ \text{m}$ 인 직사각형 모양의 정원이 있다고 해보자.
  이 정원의 넓이는 가로 길이와 세로 길이를 곱한 것과 같으니까, $(x + 2)(x + 3)$이야.
  따라서 정원의 넓이를 계산하면
  $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6$
  $\hspace{2.26cm} = x^2 + 5x + 6\ (\text{m}^2)$
  으로 계산할 수 있어.
• 이렇게 다항식 곱셈은 면적 계산 같은 실생활 문제를 수학적으로 표현하는 데 도움을 줘!

4️⃣ 개념 정리

• 다항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 활용해 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 모든 항에 곱하여 계산해.
  즉, 두 다항식 $(a+b)$, $(c+d)$에 대해서
  $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$ 와 같이 전개할 수 있어.
• 곱한 결과에서 동류항을 모아서 정리하는 것이 중요해.

학습 팁: 계산할 때 항을 빠뜨리지 않고 차근차근 곱하는 습관을 가지면 좋아!
궁금하면 언제든 물어봐! 😊