여러 가지 연립방정식의 활용

1️⃣ 사전 지식

• 연립방정식 풀이 방법
  • 대입법 : 한 방정식에서 미지수 하나를 다른 미지수로 나타내서 그 식을 다른 방정식에 넣어 푸는 방법
  • 가감법 : 두 방정식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없애서 푸는 방법

오늘은 여러 가지 연립방정식 활용 문제들 중에서, 자주 출제되는 유형들의 식 세우는 방법을 배워볼 거야!

2️⃣ 핵심 개념 & 3️⃣ 예제 및 적용

1. 두 자리 자연수 문제

• 두 자리의 자연수가 있다. 이 수의 각 자리의 숫자의 합은 $8$이고, 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음의 수보다 $36$이 크다. 처음의 수는?
  • 십의 자리 숫자: $x$, 일의 자리 숫자: $y$라고 할 때,
  • 원래 수 = $10x + y$
  • 자리 바꾼 수 = $10y +x$
  • 연립방정식 :
    $$\begin{cases} x + y = 8 \\ (10x + y)+36 = (10y+x) \end{cases}$$

2. 거리, 속력, 시간 문제

• 총거리가 $10\ \text{km}$ 인 등산로가 있다. 올라갈 때는 시속 $4\ \text{km}$로 걷고, 내려올 때는 시속 $2\ \text{km}$로 걸어서 총 $4$시간이 걸렸다고 할 때, 올라갈 때 걸린 시간을 구하여라.
• 공식:
  • $(거리)=(속력)\times(시간)$
  • $(속력)=\frac{거리}{시간}$
  • $(시간)=\frac{거리}{속력}$
  • 연립방정식 :
    $$\begin{cases} 4x + 2y = 10 \ (걸은 거리)\\ x+y=4 \ (걸린시간) \end{cases}$$

3. 비용 문제

• 사탕 $3$개와 초콜릿 $2$개를 사는 데 $3,100$원이 들고, 사탕 $2$개와 초콜릿 $4$개를 사는 데 $4,200$원이 든다고 한다. 사탕 $1$개의 가격과 초콜릿 $1$개의 가격을 구하여라.
  • 연립방정식 : $$\begin{cases} 3x + 2y = 3100 \\ 2x+4y=4200 \end{cases}$$

4. 나이 문제

• 현재 아버지와 철수의 나이의 합은 $50$살이고, $5$년 후에는 아버지의 나이가 철수의 나이보다 $3$배 많아진다고 한다. 현재 철수의 나이는?
  • 철수 나이: $x$, 아버지 나이: $y$
  • 나이 합: $x + y = \text{총 나이}$
  • 몇 년 후 아버지 나이가 철수 나이의 $k$배:
    $y + t = k(x + t)$
  • 연립방정식 : $$\begin{cases} x + y = 50 \\ y+5=3(x+5) \end{cases}$$

5. 학생 수 문제

• 어느 학교의 작년 신입생 수는 $200$명이었다. 올해 남학생 수는 작년에 비해 $10\%$ 감소하고, 여학생 수는 $5\%$증가하여 전체적으로 학생 수는 $8$명 감소하였다. 작년의 남학생 수는?
  • 작년 남학생 수: $x$, 작년 여학생 수: $y$
  • 작년 총 학생 수: $x + y = \text{총 학생 수}$
  • 학생 수가 $p\%$ 줄었을 때 $(1 - \frac{p}{100}) \times$학생 수
  • 학생 수가 $p\%$ 늘었을 때 $(1 + \frac{p}{100}) \times$학생 수
  • 연립방정식 : $$\begin{cases} x + y = 200 \\ x \times \frac{90}{100} + y \times \frac{105}{100} = 192 \end{cases}$$

4️⃣ 개념 정리

• 연립방정식 문제는 문제 상황을 정확히 식으로 표현하는 게 가장 중요해!
• 미지수를 문제에 맞게 잘 정하고, 식을 세운 뒤 대입법이나 가감법으로 풀면 돼.
• 두 자리 수 문제는 자리 수의 의미를 꼭 기억하고, 거리·속력·시간 문제는 공식 $\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}$를 활용해.
• 나이, 학생 수, 비용 문제도 비슷한 원리로 미지수를 정해서 식을 세우면 쉽게 풀 수 있어.
• 문제에서 주어진 조건을 잘 읽고, 식으로 옮기는 연습을 많이 하는 게 중요해! 😊