여러 가지 연립방정식의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 연립방정식의 활용 문제 풀이 순서를 다시 정리하면
  미지수 정하기 $\rightarrow$ 연립방정식 세우기 $\rightarrow$ 연립방정식 풀기 $\rightarrow$ 확인하기 !!

• 오늘은 여러 가지 연립방정식 활용 문제들 중에서, 자주 출제되는 유형들의 식을 세우는 방법을 배워볼 거야!

1. 두 자리 자연수에 대한 문제:
   십의 자리의 숫자가 $x$, 일의 자리의 숫자가 $y$이면
   $①$ 원래의 수: $10x+y$
   $②$ 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수: $10y+x$
   로 나타내서 관계식을 세워 풀면 돼.

2. 거리, 속력, 시간에 대한 문제:
   $①$ $\text{(거리)}=\text{(속력)}\times\text{(시간)}$
   $②$ $\text{(속력)}=\dfrac{\text(거리)}{\text(시간)}$
   $③$ $\text{(시간)}=\dfrac{\text(거리)}{\text(속력)}$
   기본 공식을 이용해서 방정식을 풀 수 있어.

3. 소금물의 농도에 대한 문제:
   $①$ $\text{(소금물의 농도)} = \dfrac{\text{(소금의 양)}}{\text{(소금물의 양)}} \times 100\;(\%)$
   $②$ $\text{(소금의 양)} = \dfrac{\text{(소금물의 농도)}}{100} \times \text{(소금물의 양)}$
   를 이용하여 방정식을 세우고 풀면 돼.

아래에서 예제를 통해 연습하도록 하자!!

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 거리를 왕복하는 문제는 다음을 이용하여 식을 세워~~
  $①$ (가는 거리) + (오는 거리) = (전체 거리)
  $②$ (갈 때 걸린 시간) + (올 때 걸린 시간) = (전체 걸린 시간)

• 농도가 다른 두 소금물을 섞는 문제는 다음을 이용하여 식을 세우면 돼~~
  $①$ (두 소금물의 양의 합) = (섞은 후 소금물의 양)
  $②$ (두 소금물의 소금의 양의 합) = (섞은 후 소금물의 소금의 양)
  $③$ 소금물에 물을 더 넣거나 소금물에서 물을 증발시켜도 소금의 양은 변하지 않아.

3️⃣ 예제 살펴보기

자주 나오는 문제 유형들을 상황에 맞게 연립방정식을 세우는 연습을 해보자.

1. 두 자리 자연수에 대한 문제

• 두 자리의 자연수가 있어. 이 수의 각 자리의 숫자의 합은 $8$이고, 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음의 수보다 $36$이 크다고 해. 이때 처음의 수를 구해보자.
  $①$ 십의 자리 숫자: $x$, 일의 자리 숫자: $y$라고 하면,
  $②$ 원래 수 = $10x + y$
  $③$ 자리 바꾼 수 = $10y +x$
  $④$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} x + y = 8 \\ (10y+x)=(10x+y)+36 \end{cases}$$

2. 거리, 속력, 시간에 대한 문제

• 총거리가 $10\ \text{km}$ 인 등산로가 있어. 올라갈 때는 시속 $4\ \text{km}$로 걷고, 내려올 때는 시속 $2\ \text{km}$로 걸어서 총 $4$시간이 걸렸다고 할 때, 올라갈 때 걸린 시간을 구해보자.
  $①$ 올라 갈 때 걸린 시간: $x$, 내려 올 때 걸린 시간: $y$라고 하면,
  $②$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} 4x + 2y = 10 \\ x+y=4 \end{cases}$$

3. 비용 문제

• 사탕 $3$개와 초콜릿 $2$개의 가격은 $3,100$ 원이고, 사탕 $2$개와 초콜릿 $4$개의 가격은 $4,200$원이라고 할 떄,.
  사탕 $1$개의 가격과 초콜릿 $1$개의 가격을 구해 보자.
  $①$ 사탕 $1$개의 가격을 $x$, 초콜릿 $1$개의 가격을 $y$라 두면
  $②$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} 3x + 2y = 3100 \\ 2x+4y=4200 \end{cases}$$

4. 나이에 대한 문제

• 현재 아버지와 철수의 나이의 합은 $50$살이고, $5$년 후에는 아버지의 나이가 철수 나이의 $3$배가 된다고 해. 현재 철수의 나이는?
  $①$ 철수 나이: $x$, 아버지 나이: $y$
  $②$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} x + y = 50 \\ y+5=3(x+5) \end{cases}$$

5. 학생 수에 대한 문제

• 어느 학교의 작년 신입생 수는 $200$명이었어. 올해 남학생 수는 작년에 비해 $10\%$ 감소하고, 여학생 수는 $5\%$증가하여 전체적으로 학생 수는 $8$명 감소하였다면 작년의 남학생 수는?
  $①$ 작년 남학생 수: $x$, 작년 여학생 수: $y$
  $②$ 작년 총 학생 수: $x + y$
  $③$ 학생 수가 $p\%$ 줄었을 때 $(1 - \dfrac{p}{100}) \times$학생 수
  $④$ 학생 수가 $p\%$ 늘었을 때 $(1 + \dfrac{p}{100}) \times$학생 수
  $⑤$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} x + y = 200 \\ x \times \dfrac{90}{100} + y \times \dfrac{105}{100} = 192 \end{cases}$$

6. 농도에 대한 문제

• $8$%의 소금물과 $5$%의 소금물을 섞어서 $6$%의 소금물 $300 \;\text{g}$을 만들었다면 $8$%의 소금물은 몇 $\text{g}$ 섞었는지 구해보자.
  $①$ $8$%의 소금물의 양을 $x\;\text{g}$, $5$%의 소금물의 양을 $y\;\text{g}$이라 하면
  $②$ 연립방정식 :
  $$\begin{cases} x + y = 300 \\ \dfrac{8}{100}x + \dfrac{5}{100}y = \dfrac{6}{100} \times 300 \end{cases}$$

이렇게 알맞은 미지수를 정하고 연립방정식을 세워 해를 구할 수 있어!!
차근차근 순서대로 풀어나가면 어렵지 않아.^^