연립방정식의 활용

1️⃣ 핵심 개념

• 연립방정식을 활용하여 문제를 풀 때에는 다음과 같은 순서로 해결하면 돼.

  1. 문제에서 구하려는 값을 미지수 $x,\;y$로 정하고,
  2. 문제의 뜻에 맞게 $x,\;y$에 대한 연립방정식을 세우는 거야.
  3. 그리고 대입법이나 가감법으로 연립방정식을 풀면 돼.
  4. 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인을 하면 끝!!!

• 예를 들어 두 수의 합이 $40$이고, 큰 수가 작은 수의 $2$배보다 $2$만큼 작다고 할 때, 이를 만족시키는 두 수를 구해 보자.
  (ⅰ) 두 수 중 작은 수를 $x$, 큰 수를 $y$라 정하자.
  (ⅱ) 연립방정식을 세우면
  $$\begin{cases} x + y = 40 \\ y = 2x-2 \end{cases}$$
  (ⅱ) 연립방정식을 가감법 또는 대입법으로 풀면
  $$\therefore\;x=14,\;y=26$$
  (ⅳ) 확인해보면 두 수가 $14,\;26$일 때,
  $$14+26=40,\;14\times2-2=26$$이므로 문제의 뜻에 맞게 잘 구한 거야!!^^

📌 핵심 요약 : 연립방정식의 활용 문제 해결 순서

미지수 정하기 $\rightarrow$ 연립방정식 세우기 $\rightarrow$ 연립방정식 풀기(with 가감법 또는 대입법) $\rightarrow$ 확인하기

2️⃣ 예제 살펴보기

• 예제를 통해 연립방정식의 활용 문제를 연습해 보자.

1. 합이 $20$이고, 차가 $4$인 두 자연수를 구해 보자.
   (ⅰ) 미지수 정하기 : 두 수를 $x\;y$라 정하자.
   (ⅱ) 연립방정식 세우기 :
   $$\begin{cases} x + y = 20 \quad \cdots \text{①}\\ x - y = 4 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$
   (ⅲ) 연립방정식 풀기 : $① + ②$을 하면
   $$2x = 24,\qquad \therefore\;x=12$$
   $x=12$를 ①에 대입하면 $\qquad \therefore\;y=8$
   (ⅳ) 확인하기 : $12+8=20,\; 12-8=4$

따라서, 구하는 두 수는 $12$와 $8$인 거야.

2. 토마토 $3$개와 사과 $4$개의 값은 $5400$원이고, 토마토 $5$개와 사과$2$개의 값은 $4800$원일 때, 토마토 $1$개의 가격을 구해보자.
   (ⅰ) 미지수 정하기 : 토마토 $1$개의 가격을 $x$원, 사과 $1$개의 가격을 $y$원으로 정하자.
   (ⅱ) 연립방정식 세우기 :
   $$\begin{cases} 3x + 4y = 5400 \quad \cdots \text{①}\\ 5x + 2y = 4800 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$
   (ⅲ) 연립방정식 풀기 : $②\times2-①$을 해서 풀면
   $$\therefore\;x = 600,\qquad \;y=900$$
   으로 토마토 $1$개의 가격은 $600$원이야.
   (ⅳ) 확인하기 :
   $$3\times600+4\times900=5400,\;5\times600+2\times900=4800$$
   조건에 맞게 잘 풀었어.