여러 가지 연립일차방정식의 풀이

1️⃣ 사전 지식

연립일차방정식의 해를 구하는 것은 두 개 이상의 일차방정식이 동시에 참이 되는 미지수의 값을 찾는 거야.
이때 주로 사용하는 방법이 대입법과 가감법인데,

• 대입법은 한 식에서 한 미지수를 다른 식에 대신 넣어 계산하는 방법이고,
• 가감법은 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없애는 방법이야.
  이 두 가지 방법으로 연립방정식을 풀 수 있다는 걸 기억해!

이 두 가지 방법을 사용하기 위해서, 연립방정식은 일반적으로 "각 항이 정리되어 있고, 미지수와 상수가 분리된" 꼴
$\quad \Rightarrow \quad ax + by = c, (a, b, c는 상수)$여야 가감법과 대입법을 쉽게 적용할 수 있어.

그렇다면, 일반적인 형태를 갖지 않은 연립방정식의 풀이 방법을 알아볼까?

2️⃣ 핵심 개념

1. 괄호가 있는 경우
괄호가 있으면 분배법칙을 사용해서 괄호를 먼저 풀어줘야 해.
그리고 나서 동류항끼리 정리한 뒤, 대입법이나 가감법으로 풀면 돼.

2. 계수가 소수인 경우 계수에 소수가 있으면, 일차방정식의 양변에 소수를 없앨 만큼의 $10$의 거듭제곱, 혹은 적당한 숫자를 곱해서 계수를 정수로 만들 수 있어.

3. 계수가 분수인 경우 분수가 있으면, 두 식의 분모들의 최소공배수(LCM)를 찾아서 양변에 곱하면 분수를 없앨 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

예제 1: 괄호가 있는 경우
$$\begin{cases} 2(x + 3) = y + 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$

• 먼저 첫 번째 식에서 괄호를 풀어보자:
  $2 \times x + 2 \times 3 = y + 5 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = y + 5$
• 미지수를 왼쪽으로, 상수(숫자)를 오른쪽으로 옮기면:
  $2x + 6 - y = 5 \Rightarrow 2x - y = -1$
• 계산한 식을 정리하면: $$\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$

이제 대입법이나 가감법으로 풀 수 있어!

예제 2: 계수가 소수인 경우 $$\begin{cases} 0.5x + y = 3 \\ 1.2x - 0.3y = 2 \end{cases}$$

• 첫 번째 식에는 양변에 $2$, 두 번째 식에는 양변에 $10$을 곱해주자.

• 첫 번째 식에 $2$를 곱하면:
  $$2 \times (0.5x + y) = 2 \times 3 \quad \Rightarrow \quad x + 2y = 6$$

• 두 번째 식에 $10$을 곱하면:
  $$10 \times (1.2x - 0.3y) = 10 \times 2 \quad \Rightarrow \quad 12x - 3y = 20$$

• 계산한 식을 정리하면: $$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 12x - 3y = 20 \end{cases}$$

이제 대입법이나 가감법으로 풀 수 있어!

예제 2: 계수가 분수인 경우
$$\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 4 \\ \frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y = 1 \end{cases}$$

• 첫 번째 식의 분모는 $3$과 $2$이므로, 최소공배수는 $6$이야.
• 두 번째 식의 분모는 $3$과 $4$이므로, 최소공배수는 $12$이야.

첫 번째 식에 $6$를 곱하면:
$$6 \times \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y\right) = 6 \times 4 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3y = 24$$

두 번째 식에 $12$를 곱하면:
$$12 \times \left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y\right) = 12 \times 1\quad \Rightarrow \quad 8x - 3y = 12$$

• 계산한 식을 정리하면: $$\begin{cases} 2x +3 y = -24 \\ 8x - 3y = 12 \end{cases}$$

이제 대입법이나 가감법으로 풀 수 있어!

4️⃣ 개념 정리

• 연립일차방정식은 대입법과 가감법으로 풀 수 있어.
• 괄호가 있으면 분배법칙으로 먼저 풀고 정리해!
• 소수가 있으면 10의 거듭제곱을 곱해서 정수로 만들어!
• 분수가 있으면 분모의 최소공배수를 곱해서 분수를 없애!
• 이렇게 계수를 정수로 바꾸면 계산이 훨씬 편해지고, 실수도 줄어들어!

이해 안 가는 부분 있으면 언제든 물어봐~ 😊