여러 가지 연립일차방정식의 풀이

1️⃣ 핵심 개념

1. 괄호가 있는 연립방정식
   괄호가 있으면 분배법칙을 사용해서 괄호를 먼저 풀어줘야 해.
   그리고 동류항끼리 정리한 뒤 대입법이나 가감법으로 풀면 돼.
   $$\begin{cases} 2(x - 3y) + 3y = 2 \\ x + 3(x + y) = 15 \end{cases} \xrightarrow{\text{괄호 풀기}}\; \begin{cases} 2x - 6y + 3y = 2 \\ x + 3x + 3y = 15 \end{cases} \xrightarrow{\text{정리하기}}\; \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ 4x + 3y = 15 \end{cases}$$

2. 계수가 소수인 연립방정식
   계수가 소수이면 양변에 $10$의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 만든 후 풀면 돼.
   $$\begin{cases} 0.3x + 0.2y = 0.8 \\ 0.2x - 0.1y = 0.3 \end{cases} \xrightarrow[10\text{을 곱하기}]{\text{양변에}}\; \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$$

3. 계수가 분수인 연립방정식
   계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 만든 후 풀면 돼.
   $$\begin{cases} \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{6}y = \dfrac{2}{3} \end{cases} \xrightarrow[\text{최소공배수 곱하기}]{\text{양변의 분모에}}\; \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• $A = B = C$ 꼴의 방정식은 다음 세 연립방정식
  $$\begin{cases} A = B \\ A = C, \end{cases} \qquad \begin{cases} A = B \\ B = C, \end{cases} \qquad \begin{cases} A = C \\ B = C \end{cases}$$
  중 하나의 꼴로 바꾸어 풀면 돼. 이때 세 연립방정식의 해는 모두 같으므로 가장 간단한 것을 선택하는 것이 좋아. 상수항이 있으면 좋겠지?
  예를 들어, $4x - 3y = 3x - 4y = 7$ 은
  $$\begin{cases} 4x - 3y = 3x - 4y \\ 4x - 3y = 7 \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} 4x - 3y = 3x - 4y \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} \quad \text{또는} \quad \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 3x - 4y = 7 \end{cases}$$
  의 세 연립방정식 중 하나를 선택하여 푸는 거지.

• 연립방정식에서 어느 하나의 일차방정식의 양변에 적당한 수를 곱하였을 떄, 나머지 방정식과 같아지면 연립방정식의 해는 무수히 많아. 예를 들면
  $$\begin{cases} 3x + 2y = 5 \quad \cdots \text{①} \\ 6x + 4y = 10 \quad \cdots \text{②} \end{cases} \xrightarrow{①\times2}\; \begin{cases} 6x + 4y = 10 \\ 6x + 4y = 10 \end{cases}$$
  처럼 말이야.

• 연립방정식에서 어느 하나의 일차방정식의 양변에 적당한 수를 곱하였을 때, 나머지 방정식과 $x,y$의 계수는 같으나 상수항이 다르면 연립방정식의 해는 없어. 예를 들면
  $$\begin{cases} 3x + 2y = 5 \quad \cdots \text{①} \\ 6x + 4y = 7 \quad \cdots \text{②} \end{cases} \xrightarrow{①\times2}\; \begin{cases} 6x + 4y = 10 \\ 6x + 4y = 7 \end{cases}$$
  처럼 상수항만 다르면 해가 없는 거야.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 예제 1 : 괄호가 있는 연립방정식
  $$\begin{cases} 2(x + 3) + y = 8 \\ x - (y - 2) = 3 \end{cases} \;\rightarrow \; \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases}$$
  이렇게 괄호를 풀어 식을 정리한 다음 대입법이나 가감법으로 풀면 돼.

• 예제 2 : 계수가 소수인 연립방정식
  $$\begin{cases} 0.1x + 0.4y = 0.6 \\ 0.2x - 0.3y = 0.2 \end{cases} \;\xrightarrow{10\text{을 곱하기}}\; \begin{cases} x + 4y = 6 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$$
  이렇게 계수를 $10$의 거듭제곱을 곱하여 정수로 만든 후 대입법이나 가감법으로 풀면 편해.

• 예제3 : 계수가 분수인 연립방정식
  $$\begin{cases} \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}y = 1 \;(\text{양변에}\times4)\\ \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}y = \dfrac{5}{6} \;(\text{양변에}\times6) \end{cases} \;\rightarrow\; \begin{cases} 2x + y = 4 \\ 2x +3y = 5 \end{cases}$$
  분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 만든 후 대입법이나 가감법으로 쉽게 풀 수 있어.