식의 대입을 이용하는 방법

1️⃣ 핵심 개념

• 연립방정식을 푸는 방법에는 식을 대입해서 해를 구하는 대입법, 식끼리 더하거나 빼서 해를 구하는 가감법이 있는데 이번 시간에는 대입법을 배울 거야.
• 연립방정식에서 한 방정식을 다른 방정식에 대입하여 한 미지수를 없앤 후 해를 구할 수 있어. 구하는 순서는 다음과 같아.
  $①$ 한 방정식을 하나의 미지수에 대하여 정리하고,
  $②$ $①$을 다른 방정식에 대입하여 한 미지수를 없앤 후 일차방정식을 푸는 거야.
  $③$ $②$에서 구한 값을 $①$의 식에 대입하여 다른 미지수의 값을 구하면 돼.
• 예를 들어
  식의 대입을 이용하여 연립방정식
  $$\begin{cases} y = 5 - x \quad \cdots \text{①} \\ x - y = 3 \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$
  을 풀어 보자.

$①$을 $②$에 대입하면
$$x - (5 - x) = 3, \quad 2x = 8, \quad \therefore\;x = 4$$

$x = 4$를 $①$에 대입하면
$$\therefore\;y = 5 - 4 = 1$$

따라서 연립방정식의 해는 $x = 4, \, y = 1$가 돼.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 대입법은 연립방정식의 두 일차방정식 중 어느 하나가 $x$=($y$의 식) 또는 $y$=($x$의 식)의 꼴로 정리하기 편할 때, 즉 $x$ 또는 $y$의 계수가 $1$이나 $-1$일 때 주로 사용해.

3️⃣ 예제 살펴보기

연립방정식
$$\begin{cases} 3x + 2y = 1 \quad \cdots \text{①} \\ 2x - y = 3 \quad\; \cdots \text{②} \end{cases}$$
을 대입법으로 풀어 보자.

$②$에서 $y$를 $x$의 식으로 나타내면
$$y = 2x - 3 \quad \cdots \text{③}$$
$③$을 $①$에 대입하면
$$3x + 2(2x - 3) = 1$$
$$7x = 7 \quad \therefore \; x = 1$$
$x = 1$을 $③$에 대입하면
$$\therefore\; y = -1$$
따라서 주어진 연립방정식의 해는
$$x = 1, \quad y = -1$$
가 돼.