식의 대입을 이용하는 방법

1️⃣ 사전 지식

• 연립방정식이란 두 개 이상의 방정식을 묶어놓은 것을 말해.
• 미지수가 $2$개인 연립일차방정식은 $x$와 $y$ 같은 미지수가 두 개이고, 각각 일차식으로 이루어진 두 개 이상의 방정식을 묶어 놓은 것을 말해.
• 이때 연립방정식의 해란, 두 식을 모두 만족하는 미지수들의 값을 말해. 우리가 연립방정식을 풀다는 건, 바로 이 해를 구하는 과정이야.
• 연립방정식을 푸는 방법에는 크게 두 가지가 있는데, 하나는 식을 대입해서 해를 구하는 대입법, 다른 하나는 식끼리 더하거나 빼서 해를 구하는 가감법 이 있어. 오늘은 그중에서 대입법 을 배워볼 거야.

2️⃣ 핵심 개념

식의 대입법은 이렇게 해!
연립방정식의 대입법이란 두 개(이상)의 방정식 중 하나의 방정식에서 변수 중 하나를 다른 변수에 대한 식으로 나타낸 다음, 그것을 다른 방정식에 대입하여 미지수의 값을 찾는 방법이야.
자세한 방법은 아래와 같아.
$$\begin{cases} 3x -y= 3 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$$
과 같은 연립방정식에서

1. 두 식 중에서 한 식을 하나의 변수에 대해 정리해. 예를 들어, 첫 번째 식을 한 변수에 대해 다른 변수로 표현하는 거야. $$\Rightarrow \quad y = 3x - 3$$
2. 그 다음, 이렇게 정리한 식을 다른 식에 대입해. 즉, 두 번째 식에서 $y$ 대신 $3x - 3$을 넣는 거지.
   $$\Rightarrow \quad 2x+(3x-3)=7$$
3. 그러면 변수가 하나만 있는 식이 나오니까, 그 식을 풀어서 $x$의 값을 구할 수 있어.
   $$\Rightarrow \quad 5x=10 \quad \Rightarrow \quad x=2$$
4. 마지막으로, 구한 $x$ 값을 처음에 두 식 중 아무 식에 다시 대입해서 $y$ 값을 구해.
   $$\Rightarrow \quad 3 \times 2 - y =3 \quad \Rightarrow \quad 6-y=3 \quad \Rightarrow \quad y=3$$
   $$\therefore (2, 3)$$

• 이렇게 하면 두 변수의 값을 모두 구할 수 있고, 이 값이 바로 연립방정식의 해야.

3️⃣ 예제 및 적용

• 예제 1:
  $$\begin{cases} x + y = 8 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$$
  두 번째 식이 $y = 2x - 1$이니까, $y$를 첫 번째 식에 대입하면
  $$x + (2x - 1) = 8 \quad \Rightarrow \quad 3x=9 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$
  $x=3$을 두 식 중 아무 식에 대입하면$$\Rightarrow \quad 2+y=8 \quad \Rightarrow \quad y=6$$
  $$\therefore(3, 6)$$

• 예제 2:
  $$\begin{cases} 2x - y = 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$$
  두 번째 식이 $y = x +2$이니까, $y$를 첫 번째 식에 대입하면
  $$2x - (x + 2) = 4 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$
  $x=6$을 두 식 중 아무 식에 대입하면$$\Rightarrow \quad y=6+2 \quad \Rightarrow \quad y=8$$
  $$\therefore (6, 8)$$

4️⃣ 개념 정리

• 연립방정식을 푸는 방법에는 크게 두 가지가 있는데, 하나는 식을 대입해서 해를 구하는 대입법, 다른 하나는 식끼리 더하거나 빼서 해를 구하는 가감법 이 있어.
• 대입법은 한 식에서 한 변수를 다른 변수로 표현하고, 그 식을 다른 식에 넣어 변수를 하나로 줄이는 방법이야.
• 이 방법을 쓰면 복잡한 식도 쉽게 풀 수 있어.
• 문제를 풀 때는 한 식을 정리 → 다른 식에 대입 → 변수 하나만 있는 식 풀기 → 다시 대입해서 다른 변수 구하기 순서만 잘 기억하면 돼!
• 연습 많이 하면 더 빠르고 정확하게 풀 수 있어 😊