연립방정식의 해

1️⃣ 사전 지식

• 연립방정식이란 두 개 이상의 방정식을 묶어놓은 것을 말해.
• 미지수가 $2$개인 연립일차방정식은 $x$와 $y$ 같은 미지수가 두 개이고, 각각 일차식으로 이루어진 두 개 이상의 방정식을 묶어 놓은 것을 말해.
• 예를 들어,
  $$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ 이러한 형태의 식이 미지수가 $2$개인 연립일차방정식이야.

2️⃣ 핵심 개념

• 연립방정식의 해란, 여러 개의 방정식을 동시에 만족시키는 문자들의 값을 말해.
  예를 들어, 두 미지수 $x, y$가 있을 때, 두 개의 방정식을 동시에 만족하는 $x, y$의 값이 바로 연립방정식의 해야.

• 연립방정식을 푼다는 말은, 여러 개의 방정식(연립방정식)에 들어 있는 미지수에 어떤 값을 넣었을 때, 모든 방정식이 동시에 참이 되도록 하는 미지수의 값을 구하는 것을 말해. 즉, 연립방정식의 해를 구하는 것이지.

• 예를 들어, $$\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x - y = 0 \end{cases}$$
  의 연립방정식이 있어. 이때, $(3, 3), (2, 4), (1, 2)$ 중에서 연립방정식의 해가 무엇인지 찾아보자!
  먼저, $(3, 3)$을 대입하면, $$\begin{cases} 3 \times 3 + 3 =12 \neq 5 \\ 2 \times 3 - 3 = 6 \neq 0 \end{cases}$$
  두 식 모두 만족하지 않으므로, $(3, 3)$은 연립방정식의 해가 아니야!

다음으로, $(2, 4)$를 대입하면, $$\begin{cases} 3 \times 2 + 4 =10 \neq 5 \\ 2 \times 2 - 4 = 0 \end{cases}$$
두 번째 식은 만족하지만, 첫 번째 식은 만족하지 않으므로, $(2, 4)$는 연립방정식의 해가 아니야!

마지막으로, $(1, 2)$를 대입하면, $$\begin{cases} 3 \times 1 + 2 =5 \\ 2 \times 1 - 2 = 0 \end{cases}$$
두 식을 모두 만족하므로, $(1, 2)$는 연립방정식의 해야!

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, 연립방정식이
  $$\begin{cases} a x + 2 y = 7 \\ 3 x + b y = 5 \end{cases}$$
  이고, 해가 $(x, y) = (1, 2)$일 때, $a$와 $b$의 값을 구해보자!
  첫 번째 식의 $x, y$에 $(1, 2)$를 대입하면:
  $$a \times 1 + 2 \times 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad a + 4 = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 3$$
  두 번째 식에 대입하면:
  $$3 \times 1 + b \times 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 3 + 2b = 5 \quad \Rightarrow \quad 2b = 2$$ $$\Rightarrow \quad b = 1$$
  그래서 $a = 3$, $b = 1$이야. 이처럼 해를 알고 있으면 미지수 $a, b$도 구할 수 있어!

4️⃣ 개념 정리

• 연립방정식의 해는 여러 방정식을 동시에 만족하는 문자들의 값을 말해.
• 연립방정식을 푼다는 말은, 여러 개의 방정식(연립방정식)에 들어 있는 미지수에 어떤 값을 넣었을 때, 모든 방정식이 동시에 참이 되도록 하는 미지수의 값을 구하는 것을 말해. 즉, 연립방정식의 해를 구하는 것이지.
• 연립방정식의 해를 알고 있으면, 연립방정식에 해를 대입해서 다른 미지수도 구할 수 있어

공부할 때는 문제에서 주어진 해나 조건을 잘 살펴보고, 식에 차근차근 대입해보는 습관을 들이면 좋아 😊