복잡한 일차부등식의 풀이

1️⃣ 사전 지식
복잡한 일차부등식을 잘 풀기 위해서는 먼저 아래 개념을 알아야 해!

• 일차부등식: 일차부등식은 부등식의 한 종류로, 부등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 일차식이 되고 그 식이 $0$과 부등호로 연결된 형태를 말해.
  즉,
  $$(일차식) > 0, \quad (일차식) < 0, \quad (일차식) \geq 0, \quad (일차식) \leq 0$$ 와 같은 형태야..

• 곱셈과 나눗셈에서 부등호 방향 주의: 부등식 양변을 음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀌어!

2️⃣ 핵심 개념

• 복잡한 일차부등식이란?
  일차부등식 중에서 식에 괄호가 있거나, 계수가 소수 또는 분수인 부등식을 말해. 이런 부등식은 기본적인 일차부등식 풀이 방법에 조금 더 신경 써야 해.

• 1. 괄호가 있는 일차부등식
  괄호가 있으면 먼저 괄호를 풀어야 해. 괄호 앞에 숫자나 문자가 곱해져 있으면 분배법칙을 사용해서 괄호 안의 각 항에 곱해줘야 해.
  예: $3(x - 2) > 6$

• 2. 계수가 소수인 일차부등식
  계수가 소수일 때도 똑같이 양변을 같은 수로 나누거나 곱해서 풀 수 있어. 소수는 분수로 바꿔서 계산해도 좋아.
  예: $-0.5x + 2 < 4$

• 3. 계수가 분수인 일차부등식
  계수가 분수일 때는 분모를 없애기 위해 양변에 분모의 최소공배수를 곱하는 방법이 좋아. 부등호 방향에 주의하면서 계산해야 해.
  예: $\dfrac{2}{3}x - 1 \geq \dfrac{1}{6}$

3️⃣ 예제 및 적용

• 괄호가 있는 일차부등식
  $$식 : 3(x - 2) > 6$$ 괄호를 먼저 풀어줘. $$\Rightarrow \quad 3x - 6 > 6$$ 여기서부터는 일차부등식의 풀이와 똑같이 하면 돼. 미지수를 좌변으로, 상수를 우변으로 옮겨줘.$\\$ $$\Rightarrow \quad 3x >6+ 6 \quad \Rightarrow \quad 3x>12$$ 이제 $x$의 계수인 $4$만큼 양변을 나눠주면 돼. 계수가 양수이므로, 부등호의 방향은 변하지 않고 유지돼. $$\Rightarrow \quad x>4$$ $$\therefore x>4$$

• 계수가 소수인 일차부등식
  $$식 : -0.5x + 2 < 4$$ 소수를 없애기 위해 양 변에 $10$을 곱하자. $$\Rightarrow \quad -5x + 20 < 40$$ 미지수를 좌변으로, 상수를 우변으로 옮겨줘. $$\Rightarrow \quad -5x < 40-20 \quad \Rightarrow \quad -5x<20$$ 이제 양 변을 $x$의 계수만큼 나눠줄거야. $x$의 계수가 $-5$로 음수이므로, 부등호의 방향은 변하게 돼. $$\Rightarrow \quad x > -4$$ $$\therefore x>-4$$

• 계수가 분수인 일차부등식
  $$식 : \dfrac{2}{3}x - 1 \geq \dfrac{1}{6}$$ 계수가 분수일 때는 분모를 없애기 위해 양변에 분모의 최소공배수를 곱해주면 돼. 위 식과 같은 경우에는 양변에 $6$을 곱해주면 되지. 이때도 곱해주는 수가 음수이면 부등호의 방향을 바꿔야 해. 지금은 양수이니까 부등호의 방향을 그대로 유지해주자. $$4x-6 \geq 1$$ 미지수를 좌변으로, 상수를 우변으로 옮겨줘. $$\Rightarrow \quad 4x < 1+6 \quad \Rightarrow \quad 4x<7$$ 마찬가지로 양변에 $x$의 계수만큼 나눠주면 돼. $x$의 계수가 양수인 $4$이므로 부드호의 방향을 그대로 유지하면 돼. $$\Rightarrow \quad x < \dfrac{7}{4}$$ $$\therefore x < \dfrac{7}{4}$$

4️⃣ 개념 정리

• 복잡한 일차부등식은 기본 일차부등식 풀이 방법을 잘 알고 있어야 해!
• 괄호가 있으면 분배법칙을 꼭 사용하고, 괄호를 먼저 풀자!
• 계수가 소수나 분수면 분수로 바꾸거나, 양변에 적절한 수를 곱해서 분모를 없애는 것이 좋아!
• 부등식에서 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 반드시 바꿔야 한다는 것을 절대 잊지 말자!
• 실생활 문제로 생각하면 이해가 더 쉬워져! 문제를 식으로 바꾸는 연습을 많이 하자.

공부하다가 헷갈리면 언제든지 물어봐! 😊