일차부등식

1️⃣ 사전 지식

일차부등식을 이해하려면 먼저 두 가지를 알아야 해.

• 일차식: 문자가 $1$개이고, 그 문자의 차수가 $1$인 식이야. 예를 들어, $3x + 5$, $-2y + 7$ 같은 식이지. 여기서 차수는 문자의 지수를 말해.
• 부등식: 두 수나 두 식의 크기를 $>, <, \geq, \leq$ 와 같은 부등호를 사용하여 비교한 식을 말해.

이 두 개념이 합쳐지면 일차부등식을 이해할 수 있어.

2️⃣ 핵심 개념

일차부등식은 부등식의 한 종류로, 부등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 일차식이 되고 그 식이 $0$과 부등호로 연결된 형태를 말해.
즉,
$$(일차식) > 0, \quad (일차식) < 0, \quad (일차식) \geq 0, \quad (일차식) \leq 0$$ 와 같은 형태야.

예를 들어,
$$2x + 3 > 7$$ 에서 우변 $7$을 좌변으로 이항하면
$$2x + 3 - 7 > 0 \implies 2x - 4 > 0$$ 이렇게 되는데, 이때 좌변 $2x - 4$가 일차식이기 때문에 이 부등식은 일차부등식이야.

3️⃣ 예제 및 적용

예제 1:
$$3x + 5 < 2x + 7$$
우변의 모든 항을 좌변으로 이항해보자:
$$3x + 5 - 2x - 7 < 0 \implies x - 2 < 0$$
좌변이 일차식 $x - 2$이고 부등호가 있으니, 이 식은 일차부등식이야. $\\[2em]$ 예제 2:
$$4x + 3 > 4x + 1$$
이 식은 겉보기에는 일차부등식처럼 보일 수 있어. 하지만 우변을 좌변으로 이항하면
$$4x + 3 - 4x - 1 > 0 \implies 0 > 0$$
문자가 사라지고 $2 > 0$이 되어버렸지? 좌변이 일차식이 아니기 때문에 부등식은 맞지만, 일차부등식이 아니야.

4️⃣ 개념 정리

• 일차부등식은 부등식의 우변을 좌변으로 모두 이항했을 때, 좌변이 일차식이 되고, 그 식이 $0$과 부등호로 연결된 형태를 말해.
• 우변을 좌변으로 이항했을 때, 좌변의 식이 문자가 $1$개이고 차수가 $1$이어야 좌변이 일차식이라고 할 수 있어.
• 이항 후 문자가 사라지면 일차부등식이 아니야.

학습 팁: 일차부등식인지 확인할 때에는, 문자가 남아 있는지, 차수가 $1$차인지 주의해서 살펴봐!