부등식의 성질

1️⃣ 사전 지식

부등식은 두 수나 식의 크기를 비교할 때 사용하는 식이야. 여기서 중요한 건 부등호$(<, >, ≤, ≥)$가 가리키는 방향이 어떤 연산을 해도 변하지 않는 경우와 변하는 경우가 있다는 거야. 부등식의 성질은 이걸 잘 이해하게 도와줘.

2️⃣ 핵심 개념

덧셈 성질

부등식의 양쪽에 같은 수를 더해도 부등호 방향은 절대 변하지 않아.
예를 들어, 만약 $a < b$라면, 어떤 수 $c$를 더해도
$$a + c < b + c$$ 가 성립해. 왜냐하면, 두 수가 각각 같은 만큼 커지니까 크기 관계가 그대로 유지되는 거야.

뺄셈 성질

덧셈과 비슷하게, 부등식 양변에 같은 수를 빼도 부등호 방향은 변하지 않아. 만약 $a < b$라면, 어떤 수 $c$를 빼도 즉,
$$a - c < b - c$$ 이 성립하는데, 여기서도 마찬가지로 뺀 만큼 둘 다 작아지니까 크기 관계는 변하지 않아.

곱셈 성질

곱셈은 좀 더 조심해야 해.

• 만약 곱하는 수 $c$가 양수라면, 부등호 방향은 변하지 않아.
  즉,
  $$a < b \text{이고 } c > 0 \Rightarrow ac < bc$$
• 하지만 곱하는 수 $c$가 음수라면, 부등호 방향이 반대로 바뀌어.
  즉,
  $$a < b \text{이고 } c < 0 \Rightarrow ac > bc$$

왜냐하면, 음수를 곱하면 두 수의 부호가 반대가 되기 때문이야.

나눗셈 성질

나눗셈도 곱셈과 같은 규칙을 따라.

• 나누는 수 $c$가 양수면 부등호 방향은 변하지 않아.
  $$a < b \text{이고 } c > 0 \Rightarrow \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$$
• 나누는 수 $c$가 음수면 부등호 방향이 바뀌어.
  $$a < b \text{이고 } c < 0 \Rightarrow \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$$

3️⃣ 예제 및 적용

• $a < b$ 이고, 양 변에 $3$을 곱하면 $a \times 3 < b \times 3$ 이다. 즉, 부등호의 방향은 변하지 않는다.
• $c < d$ 이고, 양 변에 $-3$을 나누면 $\dfrac{c}{-3}> \dfrac{d}{-3}$ 이다. 즉, 부등호의 방향은 변한다.

4️⃣ 개념 정리

• 덧셈, 뺄셈: 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼면 부등호는 변하지 않아.
• 곱셈, 나눗셈: 양수로 곱하거나 나누면 부등호 방향은 그대로, 음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀌어.
• 부등식에서 부등호 방향이 바뀌는 유일한 경우는 음수로 곱하거나 나누는 경우라는 걸 꼭 기억해!
• 부등식 문제를 풀 때는 항상 이 성질을 먼저 떠올려야 실수하지 않아.