지수법칙(4)

1️⃣ 사전 지식

지수법칙(4)을 이해하려면 먼저 지수와 곱셈, 나눗셈의 기본 성질을 알아야 해.

• 지수는 같은 수를 여러 번 곱할 때 그 횟수를 나타내는 숫자야. 예를 들어, $$a^3 = a \times a \times a$$
• 곱셈과 나눗셈의 분배법칙: 곱셈이나 나눗셈을 할 때 괄호 안에 있는 식에 곱하거나 나눌 수 있어.

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2️⃣ 핵심 개념

지수법칙(4)은 곱의 거듭제곱과 나눗셈의 거듭제곱에 관한 법칙이야. 여기서 $m$은 자연수$(1, 2, 3,\cdots)$야.

1. $(ab)^m = a^m b^m$
   • $a$와 $b$를 곱한 후에 거듭제곱하면, 각각 거듭제곱한 뒤 곱한 것과 같아.
2. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$ (단, $b \neq 0$)
   • 분수 전체를 거듭제곱하면, 분자와 분모 각각 거듭제곱한 것과 같아.

이 법칙은 거듭제곱이 분배되는 성질을 보여줘서 복잡한 식을 쉽게 계산할 수 있게 해줘.

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3️⃣ 예제 및 적용

• 곱의 거듭제곱 예시
  $(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$
  계산해 보면,
  $(6)^4 = 1296$
  그리고
  $2^4 = 16, \quad 3^4 = 81$
  $16 \times 81 = 1296$로 같다는 걸 알 수 있어.

• 나눗셈의 거듭제곱 예시
  $\left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{125}$
  분수 전체를 거듭제곱하는 대신 분자와 분모를 각각 거듭제곱하면 더 편리해.

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4️⃣ 개념 정리

• $(ab)^m = a^m b^m$와 $\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$는 거듭제곱을 분배하는 법칙이야.
• 이 법칙은 복잡한 식을 단순화하는 데 매우 유용해.
• 거듭제곱의 분배라는 생각을 꼭 기억하자!
• $m$이 자연수라는 점도 잊지 말고, 분모 $b$는 $0$이 아니어야 해.

필요할 때마다 이 법칙을 떠올리면서 식을 쉽게 계산해 보자! 😊

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\((ab)^m과 a^m b^m\)가 항상 같은 이유는 무엇일까?

실생활에서 \((ab)^m = a^m b^m\) 법칙을 어떻게 활용할 수 있을까?

\(\dfrac{2}{3}^4\)를 계산할 때 지수법칙(4)을 쓰면 왜 더 쉬울까?