근호를 포함한 식의 혼합 계산

1️⃣ 사전 지식

• 근호가 있는 식의 곱셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$이야.
• 근호가 있는 식의 나눗셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$야.
• 근호가 있는 식의 덧셈과 뺄셈은
  근호가 있는 수를 문자로 생각하여 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 계산 하던 것과 똑같이 계산하는 걸 말해. 예를 들어, $7y - 2y = (7 - 2)y = 5y$야.

2️⃣ 핵심 개념

근호를 포함한 식의 혼합 계산은 여러 가지 연산이 섞여 있을 때, 다음 규칙을 따라 계산하는 거야.

• 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 풀기
  예를 들어, $2(\sqrt{3} + 4) = 2 \times \sqrt{3} + 2 \times 4$
• 식을 간단하게 하기
  예를 들어, $\sqrt{25} = 5$, 또는 $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
• 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한 후 덧셈과 뺄셈 하기
  예를 들어, $3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \times 4 = 3\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$
• 유리화: 분모에 근호가 있을 때, 분모에서 무리수를 유리수로 바꾸는 과정
  예를 들어, $\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어,
$\sqrt{2}(\sqrt{12}+3) - \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{50}) = \sqrt{24} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} + \sqrt{150}$
$\hspace{4.81cm} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$
$\hspace{4.81cm} = 7\sqrt{6}$

이런 계산은 실제로 건축, 과학, 공학 등에서 길이, 면적 계산에 많이 쓰여. 예를 들어, 대각선 길이를 구할 때 제곱근이 나오고, 그 값을 계산하는데 이용돼.

4️⃣ 개념 정리

• 근호를 포함한 식을 계산할 때는 분배법칙을 활용해 괄호를 풀고,
• 근호 안의 제곱인 인수를 빼내어 식을 간단히 하고,
• 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한 뒤 덧셈과 뺄셈을 한다는 점이 중요해.
• 계산한 값의 분모에 근호가 있으면 유리화를 통해 분모를 유리수로 고쳐주어야 함을 기억하자.

학습 팁!
계산 순서를 꼭 지키고, 루트 안의 수를 항상 소인수분해를 통해 식을 간단히 하는 연습을 하자. 그러면 계산이 훨씬 쉬워져! 😊