근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

1️⃣ 사전 지식

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈을 이해하려면, 먼저 다항식의 덧셈과 뺄셈, 근호가 있는 식의 변형의 개념을 알아야 해.

• 다항식의 덧셈과 뺄셈: 같은 종류의 항, 즉 동류항끼리만 더하거나 빼는 것을 이야기해. 예를 들어, $3x + 5x = (3+5)x = 8x$야.
• 근호가 있는 식의 변형: $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$가 성립하는 것으로 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 근호 밖으로 꺼낼 수 있다는 뜻이야.
  예를 들어, $\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$을 만족해.

2️⃣ 핵심 개념

• 세로의 길이가 $\sqrt{2}\ \text{cm}$로 같고 가로의 길이가 각각 $2\ \text{cm}$, $4\ \text{cm}$인 직사각형을 생각해봐. 그러면 두 직사각형의 넓이는 각각 $2\sqrt{2}\ \text{cm}^2$, $4\sqrt{2}\ \text{cm}^2$야.
  이때, 다음과 같이 두 직사각형을 합친 직사각형을 생각해봐.
  
  그러면 세로와 가로의 길이는 각각 $\sqrt{2}\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$이므로 넓이가 $6\sqrt{2}\ \text{cm}^2$야.
  따라서 $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$임을 알 수 있어.
  여기서 $\sqrt{2}$를 문자 $x$라고 생각한다면
  $2x + 4x = (2 + 4)x = 6x$라고 생각할 수 있지.

• 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 근호가 있는 수가 같은 수를 같은 문자로 생각하여 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 계산 하던 것과 똑같이 계산할 수 있어. 즉, $a>0$, 정수 $m$, $n$에 대해
  $$m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}$$

예를 들어, $\sqrt{3}$을 하나의 문자로 생각하면 $3\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (3 - 7)\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$와 같이 계산이 돼.
또한 근호를 포함한 식이 복잡한 경우에는 근호가 있는 식의 변화를 활용하여 식을 간단히 하여 계산하면 돼.

3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어, $\sqrt{32} - \sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{12} = 4\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$
$\hspace{5.04cm} = (4 - 2)\sqrt{2} + (-1 + 2)\sqrt{3}$
$\hspace{5.04cm} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$
와 같이 계산할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 근호가 있는 수가 같은 수를 같은 문자로 생각하여 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 계산 하던 것과 똑같이 계산할 수 있어. 즉, $a>0$, 정수 $m$, $n$에 대해
  $$m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}$$
• 근호 안의 수가 서로 다른 경우는 바로 더하거나 뺄 수 없으니 따로 써야 해.
• 근호 안의 수가 서로 달라도 근호가 있는 식의 변화를 활용하여 근호 안의 수가 같아지는 경우에는 계산할 수 있어.

학습 팁: 근호 안의 숫자를 잘 확인하고, 같은지 꼭 비교하는 습관을 가지자! 😊