근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

1️⃣ 핵심 개념

• 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 모아서 계산하는 것과 같이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산하면 돼.

• $m,\;n$은 유리수이고 $\sqrt{a}$는 무리수일 때
  $①$ $m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}\qquad$ 예) $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2+5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
  $②$ $m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}\qquad$ 예) $7\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(7-3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

• $\sqrt{a^2b}\; (a>0,\;b>0)$의 꼴인 경우에는 $a\sqrt{b}$의 꼴로 고친 후 계산하면 돼.
  예) $\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

• 분모에 근호가 있으면 분모를 유리화하여 계산해.
  예) $3\sqrt{3} - \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3-2)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• $a>0,\;b>0, a\neq b$ 일 때,
  $①$ $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$
  $②$ $\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}\quad$ 임을 꼭 기억하자!!
  예) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 은 근호 안의 수가 같지 않으므로 더 이상 간단히 할 수 없어.$(\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5})$

3️⃣ 예제 살펴보기

• 다음을 간단히 해보자.

(1) $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}= 7\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{5}+\sqrt{5}-7\sqrt{5}= (3+1-7)\sqrt{5}=-3\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

(4) $4\sqrt{3} + 6\sqrt{2} - 7\sqrt{3} + 4\sqrt{2} = (6+4)\sqrt{2} + (4-7)\sqrt{3} = 10\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$

(5) $\sqrt{27}-\dfrac{3}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-\dfrac{3\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$