분모의 유리화

1️⃣ 핵심 개념

• 분모의 유리화는 분수의 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분자와 분모에 $0$이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 말해.
• 이렇게 하면 식의 값은 변하지 않고, 분모가 더 간단해져서 계산이나 비교가 쉬워져!
• 분모를 유리화 하는 방법은 다음과 같애.
  $a, b, c$가 유리수이고 $a > 0$일 때

$\quad①$ $\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}$$\qquad$ 예) $\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

$\quad②$ $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{b} \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{a} \quad$(단, $b > 0$)$\qquad$ 예) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{14}}{7}$

$\quad③$$\dfrac{b}{c\sqrt{a}} = \dfrac{b \times \sqrt{a}}{c\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{ac} \quad$(단, $c \neq 0$)$\quad$ 예) $\dfrac{9}{2\sqrt{3}} = \dfrac{9 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{6} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 분모의 근호 안의 수가 $a^2b\;(a>0, b>0)$의 꼴이면 $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$임을 이용하여 근호 안을 가장 작은 자연수로 만든 후 유리화하는 것이 편리해.

3️⃣ 예제 살펴보기

• 다음 분수의 분모를 유리화 해 보자.

① $\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
② $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{7} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{14}}{2}$
③ $\dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
④ $\dfrac{5}{\sqrt{12}} = \dfrac{5}{2\sqrt{3}} = \dfrac{5 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{6}$
⑤ $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{18}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{6}$