분모의 유리화

1️⃣ 사전 지식

분모의 유리화를 이해하려면 먼저 근호가 있는 식의 곱셈과 나눗셈과 제곱근의 성질의 개념을 알아야 해.

• 근호가 있는 식의 곱셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$이야.
• 근호가 있는 식의 나눗셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$야.
• 제곱근의 성질은 다음 두 가지를 이야기해.
  • 제곱근을 제곱하면 원래 수가 나온다.
    $(\sqrt{a})^2 = a$, $(-\sqrt{a})^2 = a$ $(a>0)$
  • 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근은 어떤 수의 절댓값이다.
    $\sqrt{a^2} = a$, $\sqrt{(-a)^2} = a$ $(a>0)$
    즉, $\sqrt{a^2} = |a|$ $(a > 0)$

특히, 이번 개념에서는 첫 번째 성질을 기억해줘.

2️⃣ 핵심 개념

분모의 유리화는 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모에 $0$이 아닌 수를 곱하여 유리수로 바꾸는 과정을 말해.

• 예를 들어, $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
  $\hspace{2.1cm} = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}$
  $\hspace{2.1cm} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
  으로 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$을 분모의 유리화할 수 있어.
• 이때, $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이지만 $1 \div \sqrt{3}( = 1.732050807 \cdots)$과 $\sqrt{3}(= 1.732050807 \cdots) \div 3$을 직접 나눗셈 해보면 $\sqrt{3} \div 3$의 경우에 그 값을 더 정확하고 쉽게 구할 수 있음을 알 수 있어.
  그래서 분모의 유리화 과정이 꼭 필요해!

분모의 유리화는 $$a>0, \hspace{0.1cm} b>0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$$
로 정리할 수 있어.

• 여기서 분모의 근호 안의 수가 변형이 가능한 경우에는
  $\dfrac{5}{\sqrt{72}} = \dfrac{5}{6\sqrt{2}}$
  $\hspace{0.85cm} = \dfrac{5 \times \sqrt{2}}{6\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
  $\hspace{0.85cm} = \dfrac{5\sqrt{2}}{12}$
  처럼 분모와 분자에 $\sqrt{72}$을 곱하여 유리화 하는 것보다 분모의 식을 변형하여 유리화 하는 것이 계산이 간단해질 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

실생활에서 길이, 거리 계산에서 제곱근이 나올 때 분모를 유리화하면 더 명확한 값을 표현할 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 분모의 유리화는 분모에 있는 무리수를 유리수로 바꾸는 과정이야.
• 분모의 유리화는 $a>0$, $b>0$일 때, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
  의 방법으로 할 수 있어.

연습할 때는 항상 분모를 먼저 보고, 어떤 수를 곱해야 되는지 생각해 보자!
궁금할 땐 언제든 질문해~ 같이 쉽게 풀어보자! 😊