근호가 있는 식의 변형

1️⃣ 사전 지식

먼저, 근호가 있는 식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 알고 있어야 해.

• 근호가 있는 식의 곱셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$이야.
• 근호가 있는 식의 나눗셈은
  $a>0$, $b>0$ 일 때, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
  가 성립하는 걸 말해. 예를 들어, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$이야.

2️⃣ 핵심 개념

• 근호가 있는 식의 변형은 근호 안에 제곱인 인수가 있으면 근호 밖으로 꺼낼 수 있다는 뜻이야.
  예를 들어, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2}$
  $\hspace{2.18cm} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}$
  $\hspace{2.18cm} = 5 \times \sqrt{2}$
  로 표현할 수 있고 이를 간단히 $5\sqrt{2}$라고 표현할거야.
• 일반적으로 $$a>0, \hspace{0.1cm} b>0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$$ 가 성립해.

3️⃣ 예제 및 적용

• 또 다른 예로 $4 \sqrt{3}$을 $\sqrt{a}$꼴로 고칠 수도 있어.
  $4 \sqrt{3} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$
• 실생활 예시로는, 어떤 직사각형의 대각선 길이를 구할 때 대각선 길이를 $\sqrt{a^2 + b^2}$와 같이 근호가 있는 식으로 표현할 수 있어. 이런 식을 간단히 하거나 변형할 때 이 개념이 중요해.

4️⃣ 개념 정리

• $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$
• 이 방법을 활용하면 근호가 있는 식을 더 간단하게 만들거나, 근호 안의 수가 같도록 형태로 바꿀 수 있어.
• 예를 들어, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$와 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$처럼 근호 안의 수를 같게 만들 수 있지.
• 변형할 때 항상 제곱과 제곱근의 관계를 기억하면 좋아!
• 어려울 때는 먼저 근호 안의 수를 소인수분해하거나, 근호 밖 수를 제곱해 근호 안으로 넣는 연습을 해보자.
  근호 밖의 수와 곱하거나 나눌 때는 일반적인 곱셈과 나눗셈처럼 계산하면 돼. 궁금할 때 언제든 질문해~! 😊