근호가 있는 식의 변형

1️⃣ 핵심 개념

근호가 있는 식에서 다음과 같은 변형을 통해 식을 더 간단히 하거나 계산하기 쉽게 만들 수 있어.

(1) 근호 안의 수에 제곱인 인수가 있으면 근호 밖으로 꺼낼 수 있어.
이 때 근호 안의 수를 밖으로 꺼낼 때, 근호 안에 남는 수는 가장 작은 자연수가 되도록 해야 돼.
$\quad a>0,\;b>0$일 때,

$\quad$$①$ $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\qquad$ 예)$\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \times 2} = \sqrt{5^2} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
$\quad$$②$ $\sqrt{\dfrac{b}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{b}}{a}\qquad$ 예)$\sqrt{\dfrac{2}{9}} = \sqrt{\dfrac{2}{3^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3^2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

(2) 반대로 근호 밖의 양수는 제곱하여 근호 안으로 넣을 수 있어.
$\quad a>0,\;b>0$일 때,

$\quad$$①$$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2}\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\qquad$ 예) $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{3} = \sqrt{4^2 \times 3} = \sqrt{48}$
$\quad$$②$$\dfrac{\sqrt{a}}{b} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} =\sqrt{\dfrac{a}{b^2}}\qquad$ 예) $\quad \dfrac{\sqrt{7}}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^2}} = \sqrt{\dfrac{7}{2^2}} = \sqrt{\dfrac{7}{4}}$

2️⃣ 개념 더 알아보기

• 근호 밖의 수가 음수일 때는 $-$부호는 그대로 두고 양수만 제곱하여 근호 안에 넣는거야. 이거 꼭 기억하자!!
  예를 들어 쉽게 이해해보자.
  $$-2\sqrt{5} \ne \sqrt{(-2)^2 \times 5}, \quad -2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \times 5} = -\sqrt{20}$$

3️⃣ 예제 살펴보기

• 다음 $\Box$안에 알맞은 양수를 차례대로 찾아보자.

(1) $\sqrt{80} = \sqrt{4^2 \times \Box} = 4\sqrt{\Box}$$\qquad\Longrightarrow \; 5,\;5$

(2) $\sqrt{\dfrac{3}{25}} = \sqrt{\dfrac{3}{\Box^2}} = \dfrac{\sqrt{\Box}}{\Box}$ $\qquad\Longrightarrow \; 5,\;3,\;5$

(3) $10\sqrt{2} = \sqrt{\Box^2 \times 2} = \sqrt{\Box}$ $\qquad\Longrightarrow \; 10,\;200$

(4)$\dfrac{\sqrt{7}}{4} = \sqrt{\dfrac{7}{\Box^2}} = \sqrt{\Box}$ $\qquad\Longrightarrow \; 4,\;\dfrac{7}{16}$