근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

1️⃣ 사전 지식
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈을 이해하려면, 먼저 제곱근의 뜻과 성질에 대해서 알고 있어야 해.

• 제곱근은 어떤 수를 제곱했을 때 나온 결과를 다시 원래 수로 되돌리는 수로 $a > 0$의 제곱근은 $x^2 = a$의 해 $\pm\sqrt{a}$를 의미해.
• 제곱근의 성질은 다음 두 가지를 이야기해.
• 제곱근을 제곱하면 원래 수가 나온다.
  $(\sqrt{a})^2 = a$, $(-\sqrt{a})^2 = a$ $(a>0)$
• 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근은 어떤 수의 절댓값이다.
  $\sqrt{a^2} = a$, $\sqrt{(-a)^2} = a$ $(a>0)$
  즉, $\sqrt{a^2} = |a|$ $(a > 0)$
• 특히, 이번 개념에서는 첫 번째 성질을 기억해줘.

2️⃣ 핵심 개념

• 먼저, 근호를 포함한 식의 곱셈에 대해서 알아볼게. $(\sqrt{2} \times \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2} \times \sqrt{3}) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{3})$
  $\hspace{1.76cm}$ $= (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$ ($\because$ 곱셈의 교환 법칙,
  $\hspace{6.5cm}$ 곱셈의 결합 법칙)
  $\hspace{1.76cm}$ $= (\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{3})^2$
  $\hspace{1.76cm}$ $= 2 \times 3$ ($\because$ 제곱근의 성질)
  이때, $x = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$라 하면
  $x^2 = 2 \times 3$ 이므로 $x$는 $2 \times 3$의 양의 제곱근이야.
  따라서 $x = \sqrt{2 \times 3}$ 즉, $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3}$ 임을 알 수 있어.

• 이처럼 근호를 포함한 식의 곱셈은 일반적으로 $$a > 0, \hspace{0.1cm} b > 0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ 가 성립해.

• 예를 들어, $\sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{3} = \sqrt{\frac{2}{3} \times 3}$
  $\hspace{2.9cm}$ $= \sqrt{2}$ $\hspace{1cm}$로 계산할 수 있어.

• 이번에는 근호를 포함한 식의 나눗셈에 대해 알아볼거야. $(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{0.95cm} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
  $\hspace{0.95cm} = \frac{(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2}$
  $\hspace{0.95cm} = \frac{2}{3}$ ($\because$ 제곱근의 성질)
  이때, $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$라 하면
  $x^2 = \frac{2}{3}$ 이므로 $x$는 $\frac{2}{3}$의 양의 제곱근이야.
  따라서 $x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ 즉, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ 임을 알 수 있어.

• 이처럼 근호를 포함한 식의 나눗셈은 일반적으로 $$a > 0, \hspace{0.1cm} b > 0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ 가 성립해.

• 예를 들어, $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{2.7cm}$ $= \sqrt{\frac{6}{3}}$
  $\hspace{2.7cm}$ $= \sqrt{2}$ $\hspace{1cm}$로 계산할 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$를 계산해 보자!
  $$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$$
  이렇게 근호 안의 수를 곱한 뒤 한 개의 근호로 표현하고, 결과를 간단히 할 수 있어.

• 또, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$는 어떻게 될까?
  $$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$$
  근호 안에서 나누고 간단히 표현할 수 있지.

• 실생활 예로, 땅을 사려고 할 때 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$m인 정사각형 땅 두 개를 합쳐서 새로운 정사각형 땅의 한 변의 길이를 구하는 경우를 생각할 수 있어. 두 땅의 넓이를 더한 후, 그 넓이의 제곱근을 구하는 과정에서 근호를 포함한 식의 덧셈과 곱셈이 나오는데, 곱셈과 나눗셈의 성질을 알고 있으면 계산이 편해져!

4️⃣ 개념 정리

• 근호를 포함한 식의 곱셈은 근호 안의 수를 곱하고, 나눗셈은 근호 안의 수를 나누는 것과 같다.
• 근호 밖의 수와 곱하거나 나눌 때는 일반적인 곱셈과 나눗셈처럼 계산하면 된다.
• 근호끼리 곱하거나 나눌 때는 $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}})를 기억하자!
• 계산 후에는 가능한 한 근호를 간단하게 표현하는 습관을 들이면 좋아.
• 이런 성질들은 문제를 더 쉽게 풀 수 있게 해 주니까 꼭 잘 익혀 두자! 😊

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근호를 포함한 식을 곱할 때 근호 안의 수를 왜 곱하는 걸까?

근호를 포함한 식의 나눗셈이 실생활에서 어떻게 쓰일 수 있을까?

근호가 포함된 식끼리 곱하거나 나눌 때 주의해야 할 점은 무엇일까?