근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

1️⃣ 사전 지식

근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈을 이해하려면, 먼저 제곱근의 뜻과 성질에 대해서 알고 있어야 해.

• 제곱근은 어떤 수를 제곱했을 때 나온 결과를 다시 원래 수로 되돌리는 수로 $a > 0$의 제곱근은 $x^2 = a$의 해 $\pm\sqrt{a}$를 의미해.
• 제곱근의 성질은 다음 두 가지를 이야기해.
• 제곱근을 제곱하면 원래 수가 나온다.
  $(\sqrt{a})^2 = a$, $(-\sqrt{a})^2 = a$ $(a>0)$
• 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근은 어떤 수의 절댓값이다.
  $\sqrt{a^2} = a$, $\sqrt{(-a)^2} = a$ $(a>0)$
  즉, $\sqrt{a^2} = |a|$ $(a > 0)$
• 특히, 이번 개념에서는 첫 번째 성질을 기억해줘.

2️⃣ 핵심 개념

• 먼저, 근호를 포함한 식의 곱셈에 대해서 알아볼게.
  $(\sqrt{2} \times \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2} \times \sqrt{3}) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{3})$
  $\hspace{1.76cm}$ $= (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})$
  $\hspace{1.76cm} (\because$ 곱셈의 교환/결합 법칙)
  $\hspace{1.76cm}$ $= (\sqrt{2})^2 \times (\sqrt{3})^2$
  $\hspace{1.76cm}$ $= 2 \times 3$ ($\because$ 제곱근의 성질)
  이때, $x = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$라 하면
  $x^2 = 2 \times 3$ 이므로 $x$는 $2 \times 3$의 양의 제곱근이야.
  따라서 $x = \sqrt{2 \times 3}$ 즉, $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3}$ 임을 알 수 있어.

• 이처럼 근호를 포함한 식의 곱셈은 일반적으로
  $$a > 0, \hspace{0.1cm} b > 0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ 가 성립해.

• 예를 들어, $\sqrt{\dfrac{2}{3}} \times \sqrt{3} = \sqrt{\dfrac{2}{3} \times 3}$
  $\hspace{2.9cm}$ $= \sqrt{2}$ $\hspace{1cm}$로 계산할 수 있어.

• 이번에는 근호를 포함한 식의 나눗셈에 대해 알아볼거야.
  $(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2 = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{1.08cm} = \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
  $\hspace{1.08cm} = \dfrac{(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2}$
  $\hspace{1.08cm} = \dfrac{2}{3}$ ($\because$ 제곱근의 성질)
  이때, $x = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$라 하면
  $x^2 = \dfrac{2}{3}$ 이므로 $x$는 $\dfrac{2}{3}$의 양의 제곱근이야.
  따라서 $x = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ 즉, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$ 임을 알 수 있어.

• 이처럼 근호를 포함한 식의 나눗셈은 일반적으로
  $$a > 0, \hspace{0.1cm} b > 0 \hspace{0.1cm} 일 \hspace{0.1cm} 때, \hspace{0.1cm} \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ 가 성립해.

• 예를 들어, $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{2.8cm}$ $= \sqrt{\dfrac{6}{3}}$
  $\hspace{2.8cm}$ $= \sqrt{2}$ $\hspace{1cm}$로 계산할 수 있어.

• 또, 위와 같은 나눗셈 문제를 곱셈을 이용해서 해결 할 수도 있어.
  $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{6} \times \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{1.35cm}$ $= \sqrt{6} \times \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$
  $\hspace{1.35cm}$ $= \sqrt{6} \times \sqrt{\dfrac{1}{3}}$
  $\hspace{1.35cm}$ $= \sqrt{6 \times \dfrac{1}{3}}$
  $\hspace{1.35cm}$ $= \sqrt{2}$

3️⃣ 예제 및 적용

• 예를 들어, 가로의 길이가 $\sqrt{5}\ \text{m}$,세로의 길이가 $\sqrt{7}\ \text{m}$인 직사각형 형태의 땅을 사려고 땅의 넓이를 구할 때, 근호가 포함된 식의 곱셈의 개념을 알고 있다면 쉽게 구할 수 있지!

4️⃣ 개념 정리

• 근호를 포함한 식의 곱셈은 근호 안의 수를 곱하여 구할 수 있어.
  즉, $a>0$, $b>0$ 일 때, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• 근호를 포함한 식의 나눗셈은 근호 안의 수를 나누어 구할 수 있어.
  즉, $a>0$, $b>0$ 일 때, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
• 이런 성질들은 문제를 더 쉽게 풀 수 있게 해 주니까 꼭 잘 익혀 두자! 😊