근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

1️⃣ 핵심 개념

근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈은 어떻게 계산하는지 알아보자.

• 먼저 제곱근의 곱셈은 근호 안의 수끼리, 근호 밖의 수끼리 곱하면 돼.
  $a>0$, $b>0$ 이고,$m,n$이 유리수일 때,
  ① $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}=\sqrt{ab}\qquad$예) $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3}=\sqrt{6}$
  ② $m\sqrt{a} \times n\sqrt{b} =mn\sqrt{ab}\qquad\quad$예) $3\sqrt{2} \times 2\sqrt{5} = (3\times2)\sqrt{2 \times 5}=6\sqrt{10}$

• 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 근호 안의 수끼리 근호 밖의 수끼리 나누면 돼.
  $a>0$, $b>0$ 이고,$m,n$이 유리수일 때,
  ① $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\qquad$예) $\sqrt{2} \div \sqrt{5} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{2}{5}}$
  ② $m\sqrt{a} \div n\sqrt{b} = \dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}} \quad$ (단, $n \neq 0)$$\quad$ 예) $5\sqrt{2} \div 7\sqrt{3} = \dfrac{5}{7} \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

• 이런 성질들은 문제를 더 쉽게 풀 수 있게 해 주니까 꼭 잘 익혀 두자! 😊

2️⃣ 개념 더 알아보기

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ 와 $a \times \sqrt{b}$는 곱셈 기호를 생략하여 각각 $\sqrt{ab},\, a\sqrt{b}$ 와 같이 나타내.
• $a>0,\; b>0,\; c>0$일 때,$\quad\sqrt{a}\times\sqrt{b}\times{\sqrt{c} = \sqrt{abc}}$ 와 같아.
• 분수의 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하여 계산해.
  $\sqrt{5} \div \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{15}$
• 곱셈과 나눗셈이 섞여 있을 때에는 유리수의 경우와 마찬가지로 차례대로 계산하면 돼.
  근호가 있다고 어렵게 생각하지 말자~~^^

3️⃣ 예제 살펴보기

다음을 간단히 해보자.

(1) $\sqrt{2}\times\sqrt{5} = \sqrt{10}$

(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$

(3) $7\sqrt{3}\times 2\sqrt{2} = 14\sqrt{6}$

(4) $\sqrt{24}\div\sqrt{8}=\sqrt{\dfrac{24}{8}}=\sqrt{3}$

(5) $\sqrt{50}\div\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$

(6) $9\sqrt{2}\div3\sqrt{6}=(9\div3)\sqrt{\dfrac{2}{6}}=3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$