두 실수의 대소관계

1️⃣ 사전 지식

• 실수: 우리가 일상에서 쓰는 모든 수를 포함해, 유리수와 무리수를 모두 포함한 수야. (예: $\sqrt{2}$, $3$, $-\frac{1}{2}$ 등).
• 수직선 위에서 유리수는 오른쪽에 있는 수 일수록 큰 수 왼쪽에 있는 수 일수록 작은 수야.

2️⃣ 핵심 개념

• 두 실수의 대소관계는 유리수와 마찬가지로 수직선 위에서 오른쪽에 있는 수 일수록 큰 수 왼쪽에 있는 수 일수록 작은 수야.
• 예를 들어, $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+1$, $-0.5$를 수직선 위에 나타내면 다음과 같아.

• 수직선을 살펴보면 $-\sqrt{2} < -0.5 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{2}+1$임을 알 수 있어.

일반적으로 두 실수의 대소관계는 유리수와 마찬가지로 다음이 성립해.

• 양수는 $0$보다 크고 음수는 $0$보다 작다.
• 양수는 음수보다 크다.
• 두 양수 사이에서는 절댓값이 큰 수가 더 크다.
• 두 음수 사이에서는 절댓값이 작은 수가 더 크다.

또, 두 실수의 크기를 비교할 때 두 수의 차이를 이용하면 편리해.

• 두 실수 $a$, $b$에 대해서 $a-b > 0$이라면 $a > b$이고 $a-b < 0$이라면 $a < b$가 성립해.
  -예를 들어, 두 실수 $\sqrt{3}+1$과 $\sqrt{3}$에 대해서 $(\sqrt{3}+1) - \sqrt{3} = 1 > 0$이므로 $\sqrt{3}+1 > \sqrt{3}$임을 알 수 있어.

3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활 예시:
  • 만약 너가 두 친구가 각각 받은 용돈이 $5,000$원과 $3,000$원이라면, 누가 더 많이 받았는지 알고 싶을 때, $5,000 - 3,000 = 2,000 > 0이므로 5,000$원이 더 크다는 걸 알 수 있어.
• 수학적 예시:
  • $\sqrt{5}$와 $2$ 중 어떤 수가 더 큰지 알고 싶다면, \sqrt{5}는
    $2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$이므로 2보다 크다는 걸 알 수 있어.

4️⃣ 개념 정리

• 일반적으로 두 실수의 대소관계는 유리수와 마찬가지로 다음이 성립해.
  • 양수는 $0$보다 크고 음수는 $0$보다 작다.
  • 양수는 음수보다 크다.
  • 두 양수 사이에서는 절댓값이 큰 수가 더 크다.
  • 두 음수 사이에서는 절댓값이 작은 수가 더 크다.
• 두 실수의 대소관계는 두 실수 사이의 뺄셈으로 쉽게 판단할 수 있어:

$$a > b \Leftrightarrow a - b > 0$$

• 두 실수의 대소관계는 유리수의 대소관계와 크게 다르지 않음을 기억한다면 두 실수의 대소관계 판단이 쉬워질 거야! 😊