무리수의 정수부분과 소수부분

1️⃣ 핵심 개념

• 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지는 수이므로 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있어. 이때 무리수의 소수 부분은 무리수에서 정수 부분을 뺀 것과 같아.
  예를 들어
  ① $\sqrt{2} = 1.414\cdots = 1 + 0.414\cdots$ 에서
  $\quad\sqrt{2}$의 정수 부분은 $1$ 이고, 소수 부분은 $0.414\cdots = \sqrt{2}-1$ 이야.
  ② $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ 에서 $3 < \sqrt{10} < 4$ 이므로 $\sqrt{10} = 3. \times\times\times$이고
  $\quad\sqrt{10}$ 의 정수 부분은 $3$, 소수부분은 $\sqrt{10}-3$ 이 돼.

• 즉, 어떤 무리수 $x$에 대해$\; x = \small\text{정수부분} + \text{소수부분}$ 형태로 쓸 수 있고, 이때 정수부분은 정수, 소수부분은 $0 \small\leq \text{소수부분} < 1$인 수야.
  예를 들어
  $1+\sqrt{2}=1+1.414\cdots=2+0.414\cdots$이므로
  $1+\sqrt{2}$ 의 정수부분은 $2$이고, 소수 부분은 $(1+\sqrt{2})-2=\sqrt{2}-1$ 가 돼.

2️⃣ 예제 살펴보기

• 다음 무리수의 정수 부분과 소수 부분을 각각 구해보자.

(1) $\sqrt{15}$
<풀이>
$\sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16} \;\rightarrow\;3<\sqrt{15}<4$ 이므로 $\sqrt{15} = 3. \times\times\times$이 돼.
따라서, $\sqrt{15}$의 정수 부분은 $3$이고, 소수 부분은 $\sqrt{15}-3$ 인 거야.

(2) $4+\sqrt{17}$
<풀이>
$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$ 에서 $4 < \sqrt{17} < 5$ 이 돼.
따라서, $8 < 4 + \sqrt{17} < 9$ 이므로 $4 + \sqrt{17}$ 의 정수 부분은 $8$ 이고
소수 부분은 $(4 + \sqrt{17}) - 8 = -4 + \sqrt{17}$ 가 돼.

(3) $5-\sqrt{13}$
<풀이>
$\sqrt{9}<\sqrt{13}<\sqrt{16}$ 에서 $3<\sqrt{13}<4$이고 $-4<-\sqrt{13}<-3$이야.
따라서, $1<5-\sqrt{13}<2$ 이므로 $5-\sqrt{13}$ 의 정수 부분은 $1$이고
소수 부분은 $(5-\sqrt{13})-1=4-\sqrt{13}$ 가 돼.