무리수와 실수

1️⃣ 사전 지식
무리수와 실수를 이해하려면 먼저 자연수, 정수, 유리수에 대해 알아야 해.

• 자연수: $1, 2, 3, ...$ 처럼 셀 수 있는 수야.
• 정수: 자연수(양의 정수)와 $0$, 그리고 음의 정수를 포함해.
  예) $-3, -2, -1, 0, 1, 2, ...$
• 유리수: 두 정수의 나눗셈으로 표현 가능한 수야. 정수는 유리수 안에 포함되는 수야. 예) $\frac{3}{4}, -2, 0.5$ 등
  이 개념을 알면 실수와 무리수의 개념을 더 쉽게 이해할 수 있어.

또, 소수의 표현을 알아야해.
소수는 $0.04, -2.789$와 같이 소수점 아래 끝이 있는 유한소수와 $0.66666..., -0.7516489...$와 같이 소수점 아래가 무한히 이어지는 무한소수로 나눌 수 있어.
여기서 무한소수는 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 끝임없이 반복되는 순환소수와 끝임없이 반복되는 구간이 없는 순환하지않는 무한소수로 나눌 수 있어.
이 개념을 알면 무리수와 유리수의 구분이 더 쉬울거야.

2️⃣ 핵심 개념

• 우선, $1 = \sqrt{1}$, $2 = \sqrt{4}$이므로 제곱근의 대수관계에서부터 $1 < \sqrt{2} < 2$임을 알 수 있어.
  여기서 $1.4^2 = 1.96$, $1.5^2 = 2.25$이므로 $$1.4^2 < 2 <1.5^2 \implies 1.4 < \sqrt{2} < 1.5$$임을 알 수 있어.
  또, $1.41^2 = 1.9881$, $1.42^2 = 2.0164$이므로 $$1.41^2 < 2 <1.42^2 \implies 1.41 < \sqrt{2} < 1.42$$임을 알 수 있어.
  이렇게 계속해 나가면 $\sqrt{2} = 1.41421356237...$로 $\sqrt{2}$는 순환하지 않는 무한소수임을 알 수 있어.

• 무리수(Irrational numbers)는 유리수로 표현할 수 없는 수야. 즉, 분수나 소수점으로 정확히 나타낼 수 없는 수를 말해.
  특히, 유한소수와 무한소수 중 순환소수는 유리수였는데, 유리수에 속하지 않는 순환하지 않는 무한소수는 무리수임을 알 수 있어.
  예를 들어, 위에서 살펴본 $\sqrt{2}$도 무리수이고 $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $...$와 같은 수도 무리수야. 또, 우리가 알고있는 $\pi = 3.141592...$ 순환하지 않는 무한소수이기 때문에 무리수라 할 수 있어.

• 다만, $\sqrt{4} = 2$로 유리수 이기 때문에 근호가 사용된 수는 모두 무리수라는 생각은 조심하는게 좋아.

• 실수(Real numbers)는 유리수와 무리수를 모두 포함하는 수를 이야기 하지. 즉, 실수는 유리수와 무리수를 통틀어 이야기하는거야.
  앞으로 수라고 하면 실수 의미한다고 생각하면 돼.

3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활에서 무리수는 원의 둘레를 구할 때 많이 등장해. 원주율 $\pi \approx 3.14159...$는 무리수야. 원의 둘레 공식 $C = 2\pi r$에서 $\pi$가 무리수라서 정확한 값은 소수점으로 무한히 계속돼.
• 또, $\sqrt{2}$는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이야. 이 길이는 정확히 분수로 나타낼 수 없어서 무리수야.

4️⃣ 개념 정리

• 실수는 유리수와 무리수를 모두 포함하는수야.
• 유리수는 분수로 나타낼 수 있는 수, 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수야. 즉, 유리수이면서 무리수, 무리수이면서 유리수인 수는 존재하지 않아.
• 무리수는 소수로 표현하면 끝없이 계속되고 반복되지 않아.
• 실수 = 유리수 + 무리수
  학습 팁: 무리수는 "유리수로 표현 불가능한 특별한 수"라고 기억하면 쉬워! 실생활 속 원주율과 제곱근을 떠올리면 더 친근하게 느껴질 거야. 😊

무리수와 유리수의 차이는 무엇일까?

원주율 \(\pi\)가 무리수인 이유는 뭘까?

실수와 무리수는 일상생활에서 어떻게 쓰일까?