제곱근의 성질

1️⃣ 사전 지식
제곱근의 성질을 이해하려면 먼저 제곱근이 무엇인지 알아야 해. 제곱근은 어떤 수를 제곱했을 때 원래 수가 되는 수를 말해. 예를 들어, $9$의 제곱근은 $3$과 $-3$인데, 그 이유는 $3^2 = 9$이고 $(-3)^2=9$이기 때문이야.

그리고 절댓값 개념도 중요해. 절댓값은 어떤 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리를 의미해. 예를 들어, $|-5|=5$야.

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2️⃣ 핵심 개념
제곱근의 성질들은 $a>0$일 때, 다음과 같아.

• 제곱근과 제곱의 관계
  $(\sqrt{a})^2 = a$, $(-\sqrt{a})^2 = a$ $(a>0)$
  제곱근을 다시 제곱하면 원래 수가 나와.
  제곱근의 뜻을 잘 생각해보면 $\sqrt{a}$는 $a$의 양의 제곱근 즉, 제곱하여 $a$가 되는 수 중에 양의 값을 뜻하고, $-\sqrt{a}$는 $a$의 음의 제곱근 즉, 제곱하여 $a$가 되는 수 중에 음의 값을 뜻하기 때문에 두 값 모두 제곱하면 $a$가 돼.
  예를 들어, $(\sqrt{7})^2 = 7$이고 $(-\sqrt{5})^2 = 5$야.

• 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근의 성질
  $\sqrt{a^2} = a$, $\sqrt{(-a)^2} = a$ $(a>0)$
  이건 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근은 근호를 사용하지 않고 표현할 수 있다는 뜻이야.
  $a>0$일 때, $a^2 = (-a)^2$의 양의 제곱근은 $\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} = a$로 표현할 수 있어.
  예를 들어, $a = 5$일 때, $25 = 5^2 = (-5)^2$의 양의 제곱근은 $\sqrt{5^2} = \sqrt{(-5)^2} = 5$야.
  다만, $a = -5$처럼 $a<0$일 때, $a^2 = 25$의 양의 제곱근을 생각해보면 $\sqrt{(-5)^2} = 5$이므로 $\sqrt{a^2} = -a$가 되므로 $a$의 부호에 주의 해야돼.
  그래서 이 성질을 쉽게 중학교 1학년 때 배운 절댓값을 이용해서 $\sqrt{a^2} = |a|$로 표현할 수 있어.

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3️⃣ 예제 및 적용

• 실생활 예시:
  만약 네가 정사각형 모양의 탁자를 만들고 싶어. 한 변의 길이를 알고 있을 때, 탁자의 면적을 구하려면 제곱을 사용하지. 반대로 탁자의 면적이 25 $cm^2$라면, 한 변의 길이는 $\sqrt{25} = 5$ cm야.
  이때, $\sqrt{25^2} = |25| = 25$라는 성질이 탁자의 변 길이 계산에 도움을 줘.

• 수학적 예시:
  $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$
  음수 $-7$을 제곱하면 49가 되고, 그 제곱근은 7이야. 절댓값을 사용해서 음수도 양수로 바꾸는 성질이 여기서 쓰였지.

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4️⃣ 개념 정리

• 제곱근을 제곱하면 원래 수가 나온다.
• 어떤 수의 제곱이 되는 수의 제곱근은 어떤 수의 절댓값이다.

학습 팁!
제곱근을 다룰 때는 부호와 절댓값 개념에 특히 주의하자. 또 양수의 제곱근은 두 개, $0$의 제곱근은 $0$ 한 개, 음수의 제곱근은 없다는 걸 기억해!

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제곱근의 절댓값 성질이 실생활에서 어떻게 쓰일까?

왜 \(\sqrt{a^2} = |a|\)인가요? 음수는 어떻게 될까?

a가 0인 경우는 어떻게 될까?