순환소수를 분수로 나타내기(1)

1️⃣ 핵심 개념

• 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모가 $2$, $5$이외의 소인수를 가지면 순환소수로 나타낼 수 있는데 이제 반대로 순환소수를 다시 분수로 나타낼 거야.

• $2$가지 방법이 있는데 먼저 $10$의 거듭제곱을 이용하여 순환소수를 분수 나타내는 방법을 배울 거야.

2️⃣ 개념 더 알아보기

• $0.\dot{3}\dot{5}$를 $10$의 거듭제곱을 이용하여 분수로 나타내보자.

• 먼저, 순환소수를 $x$라고 놓는거야. 즉, $x = 0.\dot{3}\dot{5}$인거지.

• 그 다음, 등식의 양변에 $10$의 거듭제곱을 곱하여 소수점 아래의 부분이 같은 두 식을 만들어야해.

• 첫 번째 식은 순환소수를 간단히 표현했을 때 나타나는 소수점 자릿수를 지수로 하는 $10$의 거듭제곱을 양변에 곱하면 돼. 지금 $0.\dot{3}\dot{5}$에서 총 $2$째 자리까지 있으니깐 양변에 $10^2$을 곱해주면 첫 번째 식은

$$100x = 35.35353535...$$

• 두 번째 식은 순환소수에서 순환이 시작하는 자리에서 $1$을 뺀 수를 지수로 하는 $10$의 거듭제곱을 곱해줘. 지금 $0.\dot{3}\dot{5}$에서 소수 첫 번째 자리에서 바로 순환하니깐 $10^{(1 - 1)} = 1$을 양변에 곱해. 즉, 두 번째 식은
  $$x = 0.35353535...$$

• 마지막으로 두 식을 빼서 $x$ 값을 구하면 돼.

따라서 $0.\dot{3}\dot{5} = \dfrac{35}{99}$

3️⃣ 예제 살펴보기

• 이번엔 $1.3\dot{2}\dot{5}$를 분수로 바꿔보자.

• 먼저 주어진 소수를 $x$라 둬. 즉, $x = 1.3\dot{2}\dot{5}$

• 그 다음 $1.3\dot{2}\dot{5}$에서 소수점이 $3$째 자리까지 있으니깐 $x = 1.3\dot{2}\dot{5}$의 양변에 $10^3$을 곱해주면 첫 번째 식은
  $$1000x = 1325.25252525...$$

• 그 다음 $1.3\dot{2}\dot{5}$에서 소수 두 번째 자리부터 순환하니깐 $10^{(2 - 1)} = 10$을 양변에 곱해주면 두 번째 식은
  $$10x = 13.25252525...$$

• 이제 두 식을 빼서 $x$를 구해주면 아래와 같아.

따라서 $1.3\dot{2}\dot{5} = \dfrac{656}{495}$