순환소수를 분수로 나타내기(1)

1️⃣ 사전 지식

순환소수를 분수로 바꾸려면 먼저 순환소수가 무엇인지 알아야 해.

• 순환소수란 소수점 아래에서 어떤 숫자나 숫자들의 모임이 계속 반복되는 소수를 말해. 예를 들어, $0.3\dot{2}\dot{5}$에서 "25"가 계속 반복되는 거야.
• 우리가 할 일은 이런 무한히 반복되는 순환소수를 분수로 바꾸는 거야.

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2️⃣ 핵심 개념

순환소수를 분수로 나타내는 방법은 크게 $3$단계로 나눌 수 있어.

1. 순환소수를 $x$로 놓는다
   예를 들어 $x = 0.\dot{2}\dot{6}$라고 해보자. 여기서 $x$는 "$25$"가 계속 반복되는 순환소수야.

2. 등식의 양 변에 $10$의 거듭제곱을 곱하여 소수점 아래 부분이 같은 두 식을 만든다
   반복되는 부분의 길이에 따라 $10$의 거듭제곱을 곱하는데, 이걸로 반복되는 소수 부분을 정수 부분으로 옮겨서 쉽게 뺄셈할 수 있게 만들거야.

   예를 들어, 순환마디가 "$26$"가 두 자리 숫자니까 $10$의 $10^2 = 100$을 곱하면:
   $$100x = 26.262626\cdots$$
   $$x = 0.262626\cdots$$

3. 두 식을 빼서 $x$의 값을 구한다
   두 식을 빼면 소수점 아래 반복되는 부분이 없어지고, $x$에 관한 식만 남게 돼.
   $$100x - x = 26.\dot{2}\dot{6} - 0.\dot{2}\dot{6}$$
   반복되는 부분이 사라지니 계산하기 쉽고, 이렇게 얻은 식에서 $x$를 구하면 분수 형태가 나와!
   $$99x = 26 \quad → \quad x =\dfrac{26}{99}$$

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3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어, $x = 0.3\dot{2}\dot{5}$를 분수로 바꿔볼게!

• $x = 0.3252525...$ ($25$가 반복), 소수점에 $2525\cdots$만 남기기 위해서 $10^3$을 곱한다.
• $1000x = 325.252525\cdots$
• $10x = 3.252525\cdots$

이제 두 식을 빼면:
$$1000x - 10x = 325.2525\cdots - 3.2525\cdots$$
$$990x = 323$$
$$x = \dfrac{323}{990}$$

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4️⃣ 개념 정리

• 순환소수는 소수점 아래 일정 부분이 계속 반복되는 소수야.
• 순환소수를 분수로 바꾸는 방법은
  1. 순환소수를 $x$로 둔다.
  2. 반복 길이에 맞춰 $10$의 거듭제곱을 곱한다.
  3. 두 식을 빼서 반복 부분을 없애고, $x$를 구한다.
• 이 방법으로 순환소수를 정확한 분수로 나타낼 수 있어!
• 학습 팁: 반복되는 숫자의 길이와 반복이 시작되는 위치를 잘 확인하는 게 중요해. 그에 맞춰 적절한 10의 거듭제곱을 곱하는 연습을 많이 해보면 좋아! 😊

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순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 실생활에서 어떻게 활용할 수 있을까?

왜 순환소수를 분수로 나타낼 때 10의 거듭제곱을 곱하는 걸까?

반복되는 숫자가 3자리 이상일 때도 같은 방법을 써도 될까?