순환소수로 나타낼 수 있는 분수

1️⃣ 사전 지식

• 먼저, 유리수라는 개념을 알아야 해. 유리수는 두 정수의 나눗셈으로 나타낼 수 있는 수를 말해. 예를 들어, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{7}{5}$ 같은 수들이 유리수야.

• 그리고, 우리가 숫자를 소수로 나타낼 때, 어떤 수는 소수점 아래에 $0$이 아닌 숫자가 계속 반복되는 경우가 있어. 이걸 순환소수라고 불러. 예를 들어 $0.\dot{3} = 0.3333...$, $0.\dot{3}8\dot{7} = 0.387387387...$ 같은 거지.

• 유리수는 순환소수이거나 유한소수로 나타낼 수 있어.

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2️⃣ 핵심 개념

유리수 중에서 순환소수로 나타낼 수 있는 분수는 바로 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모가 $2$ 또는 $5$ 이외의 소인수를 가지면, 그 수는 반드시 순환소수로 나타나.
왜냐하면, 분모가 $2$와 $5$만 있으면 소수점 아래 숫자가 끝없이 반복되지 않고 유한소수가 되지만, 다른 소인수가 들어가면 무한히 반복되는 숫자가 나오거든.

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3️⃣ 예제 및 적용

예를 들어,

• $\frac{1}{3} = 0.333\cdots = 0.\dot{3}$
• $\frac{2}{7} = 0.285714\cdots = 0.\dot{2}8571\dot{4}$
• 이와 같이 만약 분모가 $3, 7$ 같은 $2$나 $5$이외의 소인수를 가지면 순환소수가 돼.

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4️⃣ 개념 정리

• 유리수를 기약분수로 썼을 때 분모가 $2, 5$만 있으면 유한소수이고 그 외의 소인수를 가지면 순환소수로 나타난다.

학습 팁: 분모의 소인수를 꼭 확인해 보면서 순환소수인지 유한소수인지 구분해 보자! 😊

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분모가 \(7\)인 분수는 왜 항상 순환소수가 될까?

우리 주변에서 순환소수가 쓰이는 예를 찾을 수 있을까?

분모가 \(2\)와 \(5\)가 아닌 소인수를 가지면 소수가 왜 반복될까?