유한소수로 나타낼 수 있는 분수

1️⃣ 사전 지식

유한소수와 순환소수:

• 유한소수는 소수점 아래에 $0$이 아닌 숫자가 유한 개인 소수야. 예를 들어, $0.5, 0.25, 0.125$ 등이 있어.
• 순환소수는 소수점 아래에 $0$이 아닌 숫자가 무한 번 반복되는 소수야. 예를 들어, $0.555\cdots, 0.253333\cdots, 0.4646\cdots$ 등이 있어. $\\$ $\\$ $\\$

2️⃣ 핵심 개념

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

• 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있어.
• 여기서 소인수란, 어떤 수를 나누는 소수$2, 3, 5, 7, 11...$ 등을 말해.
• 예를 들어, $\dfrac{3}{4}$은 분모인 $4$를 소인수분해 하면 $2^{2}$이므로 유한소수로 나타낼 수 있어.
• 즉, 기약분수의 분모가 $2^{m} \times 5^{n}$ 꼴이면 유한소수가 돼. 분모를 $10$의 거듭제곱으로 바꿀 수 있으면, 유한소수인거야.

분모를 10의 거듭제곱으로 바꾸는 과정

• 예를 들어, $\dfrac{3}{4}$를 보자.
• 분모 $4$의 소인수는 $2$뿐이야.
• $10$은 $2 \times 5$니까, $4=2^{2}$를 $10$의 거듭제곱으로 만들려면 $5^{2}$를 곱해야 해.
• $\dfrac{3 \times 5^{2}}{4 \times 5^{2}} = \dfrac{75}{100} = 0.75$ $\\$ $\\$ $\\$

3️⃣ 예제 및 적용

• $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10}=0.4$
• $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5^{2}}{4 \times 5^{2}}=0.25$
• $\dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \times 2^{2}}{25 \times 2^{2}} = \dfrac{12}{100}=0.12$ $\\$ $\\$ $\\$

4️⃣ 개념 정리

• 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는 기약분수의 분모의 소인수가 $2$와 $5$만 있을 때 가능해!
• 분모를 $10, 100, 1000$과 같은 $10$의 거듭제곱 꼴로 바꾸기 위해 적절한 수를 곱하는 과정을 기억하자.

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